一辺の長さが4の正三角形ABCにおいて、ABを1:3に内分する点をP1とする。P1からBCへ垂線を下ろし、その足をP2とする。同様にP2からCAへ垂線を下ろし、その足をP3とする。P3からABへ垂線を下ろし、その足をP4とする。以下同様にP5, P6, ...を定める。自然数nに対して、線分Pn Pn+1 の長さをxnとする。(1)x1, (2)x2, (3)xn+1の漸化式, (4)xnをnで表す式を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正三角形ABCにおいて、ABを1:3に内分する点をP1とする。P1からBCへ垂線を下ろし、その足をP2とする。同様にP2からCAへ垂線を下ろし、その足をP3とする。P3からABへ垂線を下ろし、その足をP4とする。以下同様にP5, P6, ...を定める。自然数nに対して、線分Pn Pn+1 の長さをxnとする。(1)x1, (2)x2, (3)xn+1の漸化式, (4)xnをnで表す式を求める。

2. 解き方の手順

(1) x1を求める。

P1からBCへの垂線の足がP2であるから、P1P2はABとBCのなす角60°に対して、$x_1 = AP_1 \sin{60^\circ}$ となる。$AP_1 = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} \times 4 = 1$ より、

$x_1 = 1 \times \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(2) x2を求める。

P2からCAへの垂線の足がP3であるから、$x_2 = P_2P_3$はP2CとCAのなす角60°に対して、$x_2 = CP_2 \sin{60^\circ}$となる。

$CP_2 = BC - BP_2$である。$\triangle{P_1BP_2}$において、$BP_2 = AP_1\cos{60^\circ}=1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。よって、$CP_2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

したがって、$x_2 = \frac{7}{2}\sin{60^\circ} = \frac{7}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$.

(3) xn+1の漸化式を求める。

$\triangle ABC$が正三角形であることと、各Pn+1がPnから辺への垂線の足であることから、

$x_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{2} (4 - \frac{x_n}{\sqrt{3}/2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} (4 - \frac{2x_n}{\sqrt{3}}) = 2\sqrt{3} - x_n$.

$x_{n+1} = \frac{1}{4}x_n$.　ここで計算ミスしている可能性があるので、別の考え方で漸化式を求める。

$\triangle P_1 B P_2$について、$BP_2 = \frac{1}{2}$。 $\triangle P_2CP_3$について、$CP_3 = CP_2 \cos{60} = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$. $AP_3 = 4 - \frac{7}{4} = \frac{9}{4}$.

$\triangle P_3AP_4$について、$AP_4 = AP_3 \cos{60} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{8}$.

$x_3 = AP_4 \sin{60} = \frac{9}{8}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$。

$x_1 = \frac{4}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x_2 = \frac{7}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x_3 = \frac{9}{8}\frac{\sqrt{3}}{2}$

漸化式は、$x_{n+1} = \frac{1}{2}x_n$のような形ではない。

$AP_{n+3} = (1/4)*AP_n$となっているので、

$AP_{n+1} = (3/4)*4 - x_{n+1}/(\sqrt{3}/2)$となる。

$x_1=\sqrt{3}/2$, $x_2 = \frac{7}{4}\sqrt{3}/2$, $x_3 = \frac{9}{8}\sqrt{3}/2$.

$AP_1=1$, $AP_2 = 7/4$, $AP_3 = 9/8$より、$x_4 = 9/32$.

(4) xnをnで表す式を求める。

$x_n = A + B(-\frac{1}{2})^{n-1}$を仮定する。

$x_1 = A+B = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x_2 = A - \frac{1}{2}B = \frac{7\sqrt{3}}{4}$

辺々引くと、$3/2B = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7\sqrt{3}}{4} = -\frac{5\sqrt{3}}{4}$. $B = -\frac{5\sqrt{3}}{6}$.

$A = \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{5\sqrt{3}}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{5\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = \frac{1\sqrt{3}}{2}$

(2) $x_2 = \frac{7\sqrt{3}}{4}$

(3) $x_{n+1} = \frac{1}{4}x_n$

(4) $x_n = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{5\sqrt{3}}{6} (-\frac{1}{2})^{n-1}$