一辺の長さが4の正三角形ABCがあり、辺ABを1:3に内分する点をP1とする。P1から辺BCに下ろした垂線の足をP2、P2から辺CAに下ろした垂線の足をP3、P3から辺ABに下ろした垂線の足をP4とする。以下同様に点P5, P6, ...を定める。自然数nに対し、線分PnPn+1の長さをxnとする。このとき、x1, x2, xn+1の漸化式、およびxnをnで表す式を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正三角形ABCがあり、辺ABを1:3に内分する点をP1とする。P1から辺BCに下ろした垂線の足をP2、P2から辺CAに下ろした垂線の足をP3、P3から辺ABに下ろした垂線の足をP4とする。以下同様に点P5, P6, ...を定める。自然数nに対し、線分PnPn+1の長さをxnとする。このとき、x1, x2, xn+1の漸化式、およびxnをnで表す式を求める。

2. 解き方の手順

(1) x1の計算:

P1はABを1:3に内分するので、AP1 = 1、P1B = 3。P1からBCに下ろした垂線の足がP2であるから、P1P2は正三角形の高さの一部になる。正三角形ABCの高さは $4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$である。

∠ABP1 = 60°であるから、P1からBCに下ろした垂線の長さは、

$x_1 = P_1P_2 = AP_1 \sin{60^\circ} = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって $x_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1\sqrt{3}}{2}$.

(2) x2の計算:

P2からCAに下ろした垂線の足がP3である。三角形P1BP2は30-60-90度の直角三角形であり、$BP_2 = AP_1 = 1$。したがって $P_2C = 4-1=3$。

$P_2P_3 = P_2C \sin{60^\circ} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

$x_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

(3) xn+1の漸化式:

一般に、正三角形の辺に垂線を下ろす操作を繰り返すことで、線分の長さは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍ずつになる。そのため、$x_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{2} x_n$となる。

(4) xnの一般項:

数列{xn}は初項 $x_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$、公比 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ の等比数列である。

したがって、$x_n = x_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n$

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = \frac{1\sqrt{3}}{2}$

(2) $x_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3) $x_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{2} x_n$

(4) $x_n = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n$

言い換えると

(1) 1, 3, 2

(2) 3, 3, 2

(3) 1, 3, 2

(4) 1, 3, 2, 1

x1 = (1√3) / 2

x2 = (3√3) / 2

x(n+1) = (√3 / 2) * xn

xn = (√3 / 2)^n

空欄の答えは以下になります。

(1) 1, 3, 2

(2) 3, 3, 2

(3) 1, 3, 2

(4) 1, 3, なし

空欄を埋めて回答すると以下のようになります。

【1】空欄を埋めよ.

(1) $x_1 = \frac{1\sqrt{3}}{2}$ である。

(2) $x_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ である。

(3) 自然数 n に対して、次の漸化式が成り立つ。

$x_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{2}x_n$

(4) $x_n$を n で表すと、$x_n = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n}$

よって、空欄は順番に

1, 3, 2

3, 3, 2

1, 3, 2

1, 3, 空欄なし

となります。