点 $(-2, 4)$ から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

点 $(-2, 4)$ から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点を $(x_1, y_1)$ とおく。接点は円 $x^2 + y^2 = 10$ 上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 10$

接点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1x + y_1y = 10$

この接線は点 $(-2, 4)$ を通るので、

$x_1(-2) + y_1(4) = 10$

$-2x_1 + 4y_1 = 10$

$-x_1 + 2y_1 = 5$

$x_1 = 2y_1 - 5$

これを $x_1^2 + y_1^2 = 10$ に代入すると、

$(2y_1 - 5)^2 + y_1^2 = 10$

$4y_1^2 - 20y_1 + 25 + y_1^2 = 10$

$5y_1^2 - 20y_1 + 15 = 0$

$y_1^2 - 4y_1 + 3 = 0$

$(y_1 - 1)(y_1 - 3) = 0$

$y_1 = 1$ または $y_1 = 3$

$y_1 = 1$ のとき、 $x_1 = 2(1) - 5 = -3$

$y_1 = 3$ のとき、 $x_1 = 2(3) - 5 = 1$

したがって、接点は $(-3, 1)$ または $(1, 3)$ となる。

接点が $(-3, 1)$ のとき、接線の方程式は $-3x + y = 10$。

接点が $(1, 3)$ のとき、接線の方程式は $x + 3y = 10$。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $-3x + y = 10$ (接点 $(-3, 1)$) および $x + 3y = 10$ (接点 $(1, 3)$)。