三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{5}$, $BC = 1$, $AC = 2\sqrt{2}$であるとき、$\cos A$ の値と三角形ABCの面積Sを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{5}$, $BC = 1$, $AC = 2\sqrt{2}$であるとき、$\cos A$ の値と三角形ABCの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$\cos A$の値を求める。余弦定理は以下の通り。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

与えられた値を代入する。

$1^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos A$

$1 = 5 + 8 - 4\sqrt{10} \cos A$

$1 = 13 - 4\sqrt{10} \cos A$

$4\sqrt{10} \cos A = 12$

$\cos A = \frac{12}{4\sqrt{10}}$

$\cos A = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$\cos A = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

次に、$\sin A$を求める。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$の関係を用いる。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - (\frac{3\sqrt{10}}{10})^2$

$\sin^2 A = 1 - \frac{90}{100}$

$\sin^2 A = 1 - \frac{9}{10}$

$\sin^2 A = \frac{1}{10}$

$\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$ (Aは三角形の内角なので、$\sin A > 0$)

$\sin A = \frac{\sqrt{10}}{10}$

最後に、三角形の面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \sqrt{5}$

$S = \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \sqrt{5}$

$S = \frac{10}{10}\sqrt{5}$

$S = \sqrt{5}$

$\sin A = \frac{\sqrt{10}}{10}$ を用いると

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{10}$

$S = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{10}$

$S = \frac{2 \times 5}{10}$

$S = 1$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$S = 1$