(1) 平行四辺形ABCDにおいて、$AB = 4$, $BC = 5$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、平行四辺形ABCDの面積を求めよ。 (2) 半径2の円に内接する正八角形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 平行四辺形ABCDにおいて、$AB = 4$, $BC = 5$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、平行四辺形ABCDの面積を求めよ。

(2) 半径2の円に内接する正八角形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の面積は、$AB \times BC \times \sin{\angle B}$ で求められる。

$\angle B = 60^\circ$ なので、$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、面積は $4 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(2) 半径2の円に内接する正八角形は、中心角が $360^\circ / 8 = 45^\circ$ の8個の合同な二等辺三角形に分割できる。

各二等辺三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin{45^\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

したがって、正八角形の面積は $8 \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 平行四辺形ABCDの面積は $10\sqrt{3}$

(2) 正八角形の面積は $8\sqrt{2}$