三角形ABCにおいて、$b = 2\sqrt{3}$, $c = 3 - \sqrt{3}$, $A = 120^\circ$が与えられています。残りの辺の長さ$a$と角$B$と$C$を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた情報から三角形ABCの残りの辺の長さと角度を計算します。

**(1) $b = 2\sqrt{3}$, $c = 3 - \sqrt{3}$, $A = 120^\circ$の場合**

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = 2\sqrt{3}$, $c = 3 - \sqrt{3}$, $A = 120^\circ$が与えられています。残りの辺の長さ$a$と角$B$と$C$を求めます。

2. 解き方の手順

* 余弦定理を用いて$a$を計算します。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3 - \sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})\cos 120^\circ$

$a^2 = 12 + (9 - 6\sqrt{3} + 3) - 4\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})(-\frac{1}{2})$

$a^2 = 12 + 12 - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})$

$a^2 = 24 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6$

$a^2 = 18$

$a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

* 正弦定理を用いて角$B$を計算します。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{3\sqrt{2}}{\sin 120^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{3}\sin 120^\circ}{3\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 45^\circ$

* 角$C$を計算します。

$C = 180^\circ - A - B$

$C = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ$

$C = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$a = 3\sqrt{2}$

$B = 45^\circ$

$C = 15^\circ$

**(2) $a=8$, $A=45^\circ$, $C=30^\circ$**

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=8$, $A=45^\circ$, $C=30^\circ$が与えられています。残りの辺の長さ$b, c$と角$B$を求めます。

2. 解き方の手順

* 角$B$を計算します。

$B = 180^\circ - A - C$

$B = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ$

$B = 105^\circ$

* 正弦定理を用いて$b$を計算します。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 105^\circ}$

$b = \frac{8\sin 105^\circ}{\sin 45^\circ}$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$b = \frac{8(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 4(\sqrt{3} + 1)$

* 正弦定理を用いて$c$を計算します。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 30^\circ}$

$c = \frac{8\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$B = 105^\circ$

$b = 4(\sqrt{3} + 1)$

$c = 4\sqrt{2}$

**(3) $a=2$, $b=2\sqrt{3}$, $c=4$**

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=2\sqrt{3}$, $c=4$が与えられています。残りの角$A, B, C$を求めます。

2. 解き方の手順

* 余弦定理を用いて角$C$を計算します。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$4^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2(2)(2\sqrt{3})\cos C$

$16 = 4 + 12 - 8\sqrt{3}\cos C$

$0 = -8\sqrt{3}\cos C$

$\cos C = 0$

$C = 90^\circ$

* 余弦定理を用いて角$B$を計算します。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 + 4^2 - 2(2)(4)\cos B$

$12 = 4 + 16 - 16\cos B$

$12 = 20 - 16\cos B$

$-8 = -16\cos B$

$\cos B = \frac{1}{2}$

$B = 60^\circ$

* 角$A$を計算します。

$A = 180^\circ - B - C$

$A = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ$

$A = 30^\circ$

3. 最終的な答え

$A = 30^\circ$

$B = 60^\circ$

$C = 90^\circ$

**(4) $a=\sqrt{2}$, $b=2$, $c=\sqrt{3}-1$**

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=\sqrt{2}$, $b=2$, $c=\sqrt{3}-1$が与えられています。残りの角$A, B, C$を求めます。

2. 解き方の手順

* 余弦定理を用いて角$B$を計算します。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$2^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{3} - 1)\cos B$

$4 = 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 2\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)\cos B$

$4 = 2 + 4 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)\cos B$

$-2 + 2\sqrt{3} = -2\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)\cos B$

$\cos B = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{-2\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{-2(1-\sqrt{3})}{-2\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 45^\circ$

* 余弦定理を用いて角$A$を計算します。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$(\sqrt{2})^2 = 2^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2(2)(\sqrt{3} - 1)\cos A$

$2 = 4 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 4(\sqrt{3} - 1)\cos A$

$2 = 8 - 2\sqrt{3} - 4(\sqrt{3} - 1)\cos A$

$-6 + 2\sqrt{3} = -4(\sqrt{3} - 1)\cos A$

$\cos A = \frac{-6 + 2\sqrt{3}}{-4(\sqrt{3} - 1)} = \frac{-2(3-\sqrt{3})}{-4(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3-\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A = 30^\circ$

* 角$C$を計算します。

$C = 180^\circ - A - B$

$C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ$

$C = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$A = 30^\circ$

$B = 45^\circ$

$C = 105^\circ$