中心が原点、半径$\sqrt{2}$の円 $x^2 + y^2 = 2$ 上の点における接線の方程式を求める問題です。特に、点 $(3, 1)$ を通る接線の方程式とその接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

中心が原点、半径$\sqrt{2}$の円 $x^2 + y^2 = 2$ 上の点における接線の方程式を求める問題です。特に、点 $(3, 1)$ を通る接線の方程式とその接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

**方針1：接点座標を仮定する方法**

* 円上の接点を $P(x_1, y_1)$ とします。

* 接線の方程式は $x_1x + y_1y = 2$ と表されます。

* この接線が点 $(3, 1)$ を通ることから、$3x_1 + y_1 = 2$ が成り立ちます。

* 円の方程式 $x_1^2 + y_1^2 = 2$ と $3x_1 + y_1 = 2$ から $y_1$ を消去します。

$y_1 = 2 - 3x_1$ を $x_1^2 + y_1^2 = 2$ に代入すると、$x_1^2 + (2 - 3x_1)^2 = 2$ となります。

これを整理すると、$x_1^2 + 4 - 12x_1 + 9x_1^2 = 2$ となり、$10x_1^2 - 12x_1 + 2 = 0$ すなわち $5x_1^2 - 6x_1 + 1 = 0$ が得られます。

* $5x_1^2 - 6x_1 + 1 = 0$ を解くと、$(5x_1 - 1)(x_1 - 1) = 0$ より、$x_1 = \frac{1}{5}, 1$ となります。

* $x_1 = \frac{1}{5}$ のとき、$y_1 = 2 - 3(\frac{1}{5}) = 2 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$ です。

* $x_1 = 1$ のとき、$y_1 = 2 - 3(1) = -1$ です。

* 接点が $(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$ のとき、接線の方程式は $\frac{1}{5}x + \frac{7}{5}y = 2$ より、$x + 7y = 10$ となります。

* 接点が $(1, -1)$ のとき、接線の方程式は $x - y = 2$ となります。

**方針2：傾きを仮定する方法**

* 点 $(3, 1)$ を通る接線の方程式を $y - 1 = m(x - 3)$ と仮定します。これは $y = mx - (3m - 1)$ と表せます。

* この直線と円 $x^2 + y^2 = 2$ が接する条件は、直線と円の交点に関する二次方程式の判別式が 0 になることです。

* $y = mx - (3m - 1)$ を $x^2 + y^2 = 2$ に代入すると、$x^2 + (mx - (3m - 1))^2 = 2$ となります。

* 展開して整理すると、$(1 + m^2)x^2 - 2m(3m - 1)x + (3m - 1)^2 - 2 = 0$ となります。

* 判別式 $D = 0$ より、$D/4 = [m(3m-1)]^2 - (m^2+1)((3m-1)^2 -2) = 0$ です。

* 整理すると、$m^2(9m^2 - 6m + 1) - (m^2 + 1)(9m^2 - 6m - 1) = 0$

* さらに整理すると、$9m^4 - 6m^3 + m^2 - (9m^4 - 6m^3 - m^2 + 9m^2 - 6m - 1) = 0$

* 整理すると、$2m^2 + 6m + 1 = 0$ となる。

* $2m^2 + 6m + 1 = 0$を解くと$m = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2}$ となる。

* これらを代入して接線を求め、接点の座標を計算します。

3. 最終的な答え

求める接線の方程式と接点の座標は以下の通りです。

* 接線: $x + 7y = 10$, 接点: $(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$

* 接線: $x - y = 2$, 接点: $(1, -1)$