平行四辺形ABCDにおいて、$AB = 4cm$, $AD = 10cm$ である。$\angle ABC$ の二等分線と辺ADの交点をEとする。また、頂点Aから線分BEに下ろした垂線と線分BE, 辺BCとの交点をそれぞれF, Gとする。$\angle ABC = a^\circ$ のとき、$\angle BED$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = 4cm$, $AD = 10cm$ である。$\angle ABC$ の二等分線と辺ADの交点をEとする。また、頂点Aから線分BEに下ろした垂線と線分BE, 辺BCとの交点をそれぞれF, Gとする。$\angle ABC = a^\circ$ のとき、$\angle BED$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle ABC = a^\circ$ であり、BEは$\angle ABC$の二等分線なので、$\angle ABE = \angle CBE = \frac{a}{2}^\circ$である。

平行四辺形なので、$AD \parallel BC$。よって、$\angle AEB = \angle CBE = \frac{a}{2}^\circ$ (錯角)。

$\triangle ABE$ において、2つの角 $\angle ABE$ と $\angle AEB$ が等しいので、$\triangle ABE$は二等辺三角形であり、$AB = AE = 4cm$。

また、$AD = 10cm$なので、$ED = AD - AE = 10 - 4 = 6cm$。

$\triangle AEF$において、$\angle AFE = 90^\circ$であるから、$\angle FAE = 90^\circ - \angle AEF = 90^\circ - \frac{a}{2}^\circ$。

$\angle AEB = \frac{a}{2}^\circ$であるから、$\angle BED = 180^\circ - \frac{a}{2}^\circ$ (一直線上)。

3. 最終的な答え

エ $(180-\frac{a}{2})$度