2つの平面 $H_1: x + 2y - 3z = -1$ と $H_2: 3x - y - 2z = 4$ が与えられている。 (1) $H_1$ と $H_2$ のなす角 $\theta \in [0, \pi/2]$ を求める。 (2) 交線の方程式を求める。 (3) 交線を含み原点を通る平面の方程式を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

2つの平面 $H_1: x + 2y - 3z = -1$ と $H_2: 3x - y - 2z = 4$ が与えられている。

(1) $H_1$ と $H_2$ のなす角 $\theta \in [0, \pi/2]$ を求める。

(2) 交線の方程式を求める。

(3) 交線を含み原点を通る平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面のなす角を求める。

$H_1$ の法線ベクトルを $\vec{n_1} = (1, 2, -3)$、$H_2$ の法線ベクトルを $\vec{n_2} = (3, -1, -2)$ とする。

2つの法線ベクトルのなす角 $\theta$ は、内積を用いて以下のように表される。

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\| \|\vec{n_2}\|}$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(3) + (2)(-1) + (-3)(-2) = 3 - 2 + 6 = 7$

$\|\vec{n_1}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$\|\vec{n_2}\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

したがって、

$\cos \theta = \frac{|7|}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

$\theta \in [0, \pi/2]$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) 交線の方程式を求める。

連立方程式

$x + 2y - 3z = -1$

$3x - y - 2z = 4$

を解く。

1つ目の式を3倍して、2つ目の式から引くと、

$3(x + 2y - 3z) - (3x - y - 2z) = 3(-1) - 4$

$3x + 6y - 9z - 3x + y + 2z = -3 - 4$

$7y - 7z = -7$

$y - z = -1$

$y = z - 1$

これを $x + 2y - 3z = -1$ に代入すると、

$x + 2(z - 1) - 3z = -1$

$x + 2z - 2 - 3z = -1$

$x - z = 1$

$x = z + 1$

したがって、交線は $x = z + 1, y = z - 1$ と表される。

$z = t$ とすると、交線の方程式は

$(x, y, z) = (t + 1, t - 1, t) = (1, -1, 0) + t(1, 1, 1)$

(3) 交線を含み原点を通る平面の方程式を求める。

平面の方程式は、

$\lambda (x + 2y - 3z + 1) + \mu (3x - y - 2z - 4) = 0$

と表せる。

原点 $(0, 0, 0)$ を通るので、

$\lambda (0 + 0 - 0 + 1) + \mu (0 - 0 - 0 - 4) = 0$

$\lambda - 4\mu = 0$

$\lambda = 4\mu$

これを代入すると、

$4\mu (x + 2y - 3z + 1) + \mu (3x - y - 2z - 4) = 0$

$4(x + 2y - 3z + 1) + (3x - y - 2z - 4) = 0$

$4x + 8y - 12z + 4 + 3x - y - 2z - 4 = 0$

$7x + 7y - 14z = 0$

$x + y - 2z = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$

(2) $(x, y, z) = (1, -1, 0) + t(1, 1, 1)$

(3) $x + y - 2z = 0$