原点をOとする空間内に、一辺の長さが1の正四面体OABCを考える。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とする。 (1) 辺OA上を動く点Pと辺BC上を動く点Qに対して、線分PQの長さが最小となるとき、ベクトル$\overrightarrow{PQ}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表せ。 (2) 点Rを$\triangle ABC$の内部および辺上を動くとする。$\overrightarrow{AR} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$ ($m, n \ge 0$, $m+n \le 1$)と表すとき、(1)で求めた$\overrightarrow{PQ}$を用いて、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OR}$を求めよ。 (3) (2)において、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}$ を満たすとき、点Rが動く範囲を求めよ。

1. 問題の内容

原点をOとする空間内に、一辺の長さが1の正四面体OABCを考える。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とする。

(1) 辺OA上を動く点Pと辺BC上を動く点Qに対して、線分PQの長さが最小となるとき、ベクトル$\overrightarrow{PQ}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表せ。

(2) 点Rを$\triangle ABC$の内部および辺上を動くとする。$\overrightarrow{AR} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$ ($m, n \ge 0$, $m+n \le 1$)と表すとき、(1)で求めた$\overrightarrow{PQ}$を用いて、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OR}$を求めよ。

(3) (2)において、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}$ を満たすとき、点Rが動く範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} = s\vec{a}$、$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c}$ とおく。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c} - s\vec{a}$

$|\overrightarrow{PQ}|^2 = |(1-t)\vec{b} + t\vec{c} - s\vec{a}|^2 = (1-t)^2|\vec{b}|^2 + t^2|\vec{c}|^2 + s^2|\vec{a}|^2 + 2(1-t)t\vec{b} \cdot \vec{c} - 2s(1-t)\vec{a} \cdot \vec{b} - 2st\vec{a} \cdot \vec{c}$

ここで、正四面体OABCの一辺の長さは1なので、$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 1$ であり、$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}$ である。

よって、$|\overrightarrow{PQ}|^2 = (1-t)^2 + t^2 + s^2 + 2(1-t)t(\frac{1}{2}) - 2s(1-t)(\frac{1}{2}) - 2st(\frac{1}{2}) = (1-t)^2 + t^2 + s^2 + t - t^2 - s + st + st = 1 - 2t + t^2 + t^2 + s^2 + t - t^2 - s$

$|\overrightarrow{PQ}|^2 = s^2 - s + t^2 - t + 1 = (s - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (t - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (s - \frac{1}{2})^2 + (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

$|\overrightarrow{PQ}|^2$ が最小となるのは $s = \frac{1}{2}$, $t = \frac{1}{2}$ のときである。

したがって、$\overrightarrow{PQ} = (1 - \frac{1}{2})\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(2)

$\overrightarrow{AR} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$ より $\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OA} = m(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + n(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$

$\overrightarrow{OR} = \vec{a} + m(\vec{b} - \vec{a}) + n(\vec{c} - \vec{a}) = (1 - m - n)\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c}$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OR} = (-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) \cdot ((1 - m - n)\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c}) = -\frac{1}{2}(1-m-n) - \frac{1}{4}(m) - \frac{1}{4}(n) + \frac{1}{2}(m) + \frac{1}{4}(1-m-n) + \frac{1}{2}(n) + \frac{1}{4}(1-m-n) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}n - \frac{1}{4}m - \frac{1}{4}n + \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}m - \frac{1}{4}n + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}m - \frac{1}{4}n = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4})m + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4})n = 0m + 0n = 0$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OR} = -\frac{1}{2}(1 - m - n) + \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}n = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}n = -\frac{1}{2} + m + n$

(3)

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OR} = -\frac{1}{2} + m + n = \frac{1}{4}$ より $m + n = \frac{3}{4}$

条件は $m \ge 0$, $n \ge 0$, $m + n \le 1$ であったから、点Rは$\triangle ABC$の内部または辺上にあり、 $m + n = \frac{3}{4}$ を満たす。したがって、点Rは線分AB, BC, CAのうち、$m + n = \frac{3}{4}$ となる線分上の点である。$\overrightarrow{AR} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$であり、$m+n = \frac{3}{4}$である。

直線$m + n = \frac{3}{4}$は、線分AB上の点をPとして $m=0$のとき $n = \frac{3}{4}$、線分AC上の点をQとして $n=0$のとき $m = \frac{3}{4}$となり、線分BC上の点をRとすると、PQを結んだ線分上にある。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(2) $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OR} = -\frac{1}{2} + m + n$

(3) 点Rは線分ABを3:1に内分する点と線分ACを3:1に内分する点を結ぶ線分上にある。