放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ を、直線 $y = -2$ に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ を、直線 $y = -2$ に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

放物線上の任意の点 $(x, y)$ を、直線 $y = -2$ に関して対称移動した点を $(x', y')$ とすると、

$x' = x$ であり、$\frac{y + y'}{2} = -2$ が成り立つ。

よって、$y' = -4 - y$ となる。

したがって、元の放物線の方程式 $y = 2x^2 - 4x + 1$ において、

$y$ を $-4 - y'$ に置き換えると、対称移動後の放物線の方程式が得られる。

$-4 - y' = 2x'^2 - 4x' + 1$

$y' = -2x'^2 + 4x' - 5$

3. 最終的な答え

対称移動後の放物線の方程式は、

$y = -2x^2 + 4x - 5$