点 A(3, -1) を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と平行な直線の式をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

点 A(3, -1) を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と平行な直線の式をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた直線 $3x + 2y + 1 = 0$ の傾きを求める。

この式を $y$ について解くと、$2y = -3x - 1$ より $y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ となる。

したがって、与えられた直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ である。

(2) 与えられた直線に垂直な直線の傾きを求める。

2つの直線が垂直であるとき、それらの傾きの積は $-1$ である。

したがって、求める垂直な直線の傾きを $m$ とすると、

$$$$

m \times \left(-\frac{3}{2}\right) = -1

$$$$

より、$m = \frac{2}{3}$ となる。

(3) 点 A(3, -1) を通り、傾きが $\frac{2}{3}$ の直線の方程式を求める。

点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

これに $x_1 = 3$, $y_1 = -1$, $m = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$y - (-1) = \frac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = \frac{2}{3}x - 2$

$y = \frac{2}{3}x - 3$

$3y = 2x - 9$

$2x - 3y - 9 = 0$

(4) 点 A(3, -1) を通り、与えられた直線に平行な直線の方程式を求める。

平行な直線の傾きは同じなので、求める直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ である。

点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾き $m$ の直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

これに $x_1 = 3$, $y_1 = -1$, $m = -\frac{3}{2}$ を代入すると、

$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

$2y = -3x + 7$

$3x + 2y - 7 = 0$

3. 最終的な答え

与えられた直線に垂直な直線の方程式：$2x - 3y - 9 = 0$

与えられた直線に平行な直線の方程式：$3x + 2y - 7 = 0$