ベクトル $\overrightarrow{OA} = \vec{a} - 3\vec{b}$, $\overrightarrow{OB} = 3\vec{a} - 5\vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = 4\vec{a} - 6\vec{b}$ が与えられている。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではない。このとき、3点A, B, Cが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

ベクトル $\overrightarrow{OA} = \vec{a} - 3\vec{b}$, $\overrightarrow{OB} = 3\vec{a} - 5\vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = 4\vec{a} - 6\vec{b}$ が与えられている。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ であり、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行ではない。このとき、3点A, B, Cが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$= (3\vec{a} - 5\vec{b}) - (\vec{a} - 3\vec{b})$

$= 2\vec{a} - 2\vec{b}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$= (4\vec{a} - 6\vec{b}) - (\vec{a} - 3\vec{b})$

$= 3\vec{a} - 3\vec{b}$

ここで、$\overrightarrow{AC}$ を $\overrightarrow{AB}$ のスカラー倍で表せるか確認する。

$\overrightarrow{AC} = \frac{3}{2} (2\vec{a} - 2\vec{b})$

$= \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$ (kはスカラー) の形になったので、$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{AB}$ は平行である。

したがって、点A, B, Cは一直線上にある。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AC} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$ より、3点A, B, Cは一直線上にある。