3点 A(2, 6), B(7, -2), Cを頂点とする三角形ABCの重心の座標が(1, 2)であるとき、Cの座標を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題6, 7, 8を解きます。

**問題6**

1. 問題の内容

3点 A(2, 6), B(7, -2), Cを頂点とする三角形ABCの重心の座標が(1, 2)であるとき、Cの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の重心の座標は、各頂点の座標の平均です。Cの座標を(x, y)とすると、重心の座標は次のようになります。

重心のx座標： $\frac{2 + 7 + x}{3} = 1$

重心のy座標： $\frac{6 - 2 + y}{3} = 2$

これらの式を解いて、xとyを求めます。

まず、x座標の式を解きます。

$2 + 7 + x = 3$

$9 + x = 3$

$x = 3 - 9$

$x = -6$

次に、y座標の式を解きます。

$6 - 2 + y = 6$

$4 + y = 6$

$y = 6 - 4$

$y = 2$

3. 最終的な答え

Cの座標は(-6, 2)です。

**問題7**

1. 問題の内容

2直線 $3x - 4y + 5 = 0$, $2x + y - 4 = 0$ の交点を通り、次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。

(1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行

(2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直

2. 解き方の手順

まず、2直線の交点を求めます。

$3x - 4y + 5 = 0$ (1)

$2x + y - 4 = 0$ (2)

(2)式から $y = 4 - 2x$ を(1)式に代入します。

$3x - 4(4 - 2x) + 5 = 0$

$3x - 16 + 8x + 5 = 0$

$11x - 11 = 0$

$11x = 11$

$x = 1$

$x = 1$を(2)式に代入します。

$2(1) + y - 4 = 0$

$2 + y - 4 = 0$

$y - 2 = 0$

$y = 2$

よって、交点の座標は(1, 2)です。

(1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行な直線は、$2x + 3y + k = 0$ の形で表されます。

この直線が(1, 2)を通るので、

$2(1) + 3(2) + k = 0$

$2 + 6 + k = 0$

$8 + k = 0$

$k = -8$

よって、求める直線の方程式は $2x + 3y - 8 = 0$ です。

(2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線は、$3x - 2y + k = 0$ の形で表されます。

この直線が(1, 2)を通るので、

$3(1) - 2(2) + k = 0$

$3 - 4 + k = 0$

$-1 + k = 0$

$k = 1$

よって、求める直線の方程式は $3x - 2y + 1 = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) $2x + 3y - 8 = 0$

(2) $3x - 2y + 1 = 0$

**問題8**

1. 問題の内容

2点 A(2, -1), B(4, 5)について、次のものを求めよ。

(1) 線分ABの中点Mの座標

(2) 線分ABの垂直二等分線の方程式

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの中点Mの座標は、AとBの座標の平均です。

$M_x = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$M_y = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

よって、中点Mの座標は(3, 2)です。

(2) 線分ABの垂直二等分線は、線分ABの中点を通り、線分ABに垂直な直線です。

まず、線分ABの傾きを求めます。

$m_{AB} = \frac{5 - (-1)}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$

垂直二等分線の傾きは、線分ABの傾きの逆数の符号を反転させたものです。

$m_{\perp} = -\frac{1}{3}$

垂直二等分線は、中点(3, 2)を通るので、方程式は

$y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 3)$

$y - 2 = -\frac{1}{3}x + 1$

$y = -\frac{1}{3}x + 3$

両辺に3をかけて整理すると、

$3y = -x + 9$

$x + 3y - 9 = 0$

3. 最終的な答え

(1) M(3, 2)

(2) $x + 3y - 9 = 0$