点A(2, 4)から円 $x^2 + y^2 = 4$ に引いた接線の方程式を求め、接点の座標も求める。

1. 問題の内容

点A(2, 4)から円 $x^2 + y^2 = 4$ に引いた接線の方程式を求め、接点の座標も求める。

2. 解き方の手順

接点を$(x_1, y_1)$とする。接線の方程式は

$x_1x + y_1y = 4$

この接線は点A(2, 4)を通るので、

$2x_1 + 4y_1 = 4$

$x_1 + 2y_1 = 2$

したがって、

$x_1 = 2 - 2y_1$

また、$(x_1, y_1)$は円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の点なので、

$x_1^2 + y_1^2 = 4$

$(2 - 2y_1)^2 + y_1^2 = 4$

$4 - 8y_1 + 4y_1^2 + y_1^2 = 4$

$5y_1^2 - 8y_1 = 0$

$y_1(5y_1 - 8) = 0$

$y_1 = 0, \frac{8}{5}$

(i) $y_1 = 0$のとき、

$x_1 = 2 - 2(0) = 2$

接点は(2, 0)となり、接線の方程式は

$2x + 0y = 4$

$x = 2$

(ii) $y_1 = \frac{8}{5}$のとき、

$x_1 = 2 - 2(\frac{8}{5}) = 2 - \frac{16}{5} = \frac{10 - 16}{5} = -\frac{6}{5}$

接点は$(-\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$となり、接線の方程式は

$-\frac{6}{5}x + \frac{8}{5}y = 4$

$-6x + 8y = 20$

$-3x + 4y = 10$

$4y = 3x + 10$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{10}{4}$

$3x - 4y + 10 = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $x = 2$, $3x - 4y + 10 = 0$

接点の座標: $(2, 0)$, $(-\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$