問題12：以下の円と直線の共有点の個数を求め、共有点がある場合はその座標を求める。 (1) $x^2 + y^2 = 13$, $y = -x - 1$ (2) $x^2 + y^2 = 2$, $y = x + 2$ (3) $x^2 + y^2 = 2$, $y = x + 3$ 問題13：円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = -3x + m$ について、次の問いに答える。 (1) 直線が円に接するとき、定数 $m$ の値を求める。 (2) 共有点がないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題12：以下の円と直線の共有点の個数を求め、共有点がある場合はその座標を求める。

(1) $x^2 + y^2 = 13$, $y = -x - 1$

(2) $x^2 + y^2 = 2$, $y = x + 2$

(3) $x^2 + y^2 = 2$, $y = x + 3$

問題13：円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = -3x + m$ について、次の問いに答える。

(1) 直線が円に接するとき、定数 $m$ の値を求める。

(2) 共有点がないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

問題12：

円と直線の連立方程式を解き、判別式 $D$ を利用して共有点の個数を求める。共有点がある場合は、連立方程式の解が座標となる。

(1) $x^2 + y^2 = 13$ に $y = -x - 1$ を代入する。

$x^2 + (-x - 1)^2 = 13$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 13$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3, 2$

$x = -3$ のとき $y = -(-3) - 1 = 2$

$x = 2$ のとき $y = -2 - 1 = -3$

共有点は2個で、座標は $(-3, 2)$ と $(2, -3)$。

(2) $x^2 + y^2 = 2$ に $y = x + 2$ を代入する。

$x^2 + (x + 2)^2 = 2$

$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 2$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

$x = -1$ のとき $y = -1 + 2 = 1$

共有点は1個で、座標は $(-1, 1)$。

(3) $x^2 + y^2 = 2$ に $y = x + 3$ を代入する。

$x^2 + (x + 3)^2 = 2$

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 2$

$2x^2 + 6x + 7 = 0$

判別式 $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20 < 0$

共有点は0個。

問題13：

円 $x^2 + y^2 = 10$ の中心は原点 $(0, 0)$、半径は $\sqrt{10}$。

直線 $y = -3x + m$ と円の中心との距離 $d$ を求め、円の半径との関係から $m$ の値を求める。

(1) 円と直線が接するとき、$d = \sqrt{10}$。

直線は $3x + y - m = 0$ と表せる。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - m|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-m|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

$|m| = 10$

$m = \pm 10$

(2) 共有点がないとき、$d > \sqrt{10}$。

$\frac{|-m|}{\sqrt{10}} > \sqrt{10}$

$|m| > 10$

$m < -10$ または $m > 10$

3. 最終的な答え

問題12：

(1) 共有点の個数：2個、座標：$(-3, 2)$, $(2, -3)$

(2) 共有点の個数：1個、座標：$(-1, 1)$

(3) 共有点の個数：0個

問題13：

(1) $m = \pm 10$

(2) $m < -10$ または $m > 10$