一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点Dを、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。 (1) △ABCの外接円の半径と、点Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hまでの距離OHを求める。 (2) 四面体OAEDの体積を求める。 (3) cos∠AEDの値を求め、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点Dを、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。

(1) △ABCの外接円の半径と、点Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hまでの距離OHを求める。

(2) 四面体OAEDの体積を求める。

(3) cos∠AEDの値を求め、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

△ABCは一辺の長さが3の正三角形なので、外接円の半径Rは、正弦定理より

$\frac{3}{\sin 60^\circ} = 2R$

$R = \frac{3}{2\sin 60^\circ} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

点Hは△ABCの重心なので、OHは正四面体の高さとなる。正四面体の高さは、一辺の長さをaとすると$\frac{\sqrt{6}}{3}a$で求められる。

よって、$OH = \frac{\sqrt{6}}{3} \times 3 = \sqrt{6}$

(2)

四面体OAEDの体積を求める。

まず、四面体OABCの体積Vを求める。底面は正三角形ABCで、面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$。高さはOH=$\sqrt{6}$。

$V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{18}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

ここで、四面体OAEDの体積を求めるために、OABCの体積を基準として考える。

四面体OAEDの体積は、

$\frac{OD}{OC} \times \frac{OE}{OB} \times V = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{27\sqrt{2}}{48} = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3)

まず、$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$とおく。

$\vec{OE} = \frac{3}{4}\vec{b}, \vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD} = \frac{3}{4}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}$

$|\vec{AE}|^2 = |\frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\frac{3}{4})^2 |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{9}{16} \times 9 + 9 - 2 \times \frac{3}{4} \times 9 \times \cos 60^\circ = \frac{81}{16} + 9 - \frac{27}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{81}{16} + \frac{144}{16} - \frac{108}{16} = \frac{117}{16}$

$|\vec{DE}|^2 = |\frac{3}{4}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}|^2 = \frac{9}{16} |\vec{b}|^2 + \frac{1}{9} |\vec{c}|^2 - 2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{9}{16} \times 9 + \frac{1}{9} \times 9 - \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{1}{2} = \frac{81}{16} + 1 - \frac{9}{4} = \frac{81}{16} + \frac{16}{16} - \frac{36}{16} = \frac{61}{16}$

$|\vec{AD}|^2 = |\vec{OD} - \vec{OA}|^2 = |\frac{1}{3}\vec{c} - \vec{a}|^2 = \frac{1}{9} |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2 \times \frac{1}{3} \times 9 \times \frac{1}{2} = 1 + 9 - 3 = 7$

$\cos \angle AED = \frac{|\vec{AE}|^2 + |\vec{DE}|^2 - |\vec{AD}|^2}{2 |\vec{AE}| |\vec{DE}|} = \frac{\frac{117}{16} + \frac{61}{16} - 7}{2 \sqrt{\frac{117}{16}} \sqrt{\frac{61}{16}}} = \frac{\frac{178}{16} - \frac{112}{16}}{2 \frac{\sqrt{117 \times 61}}{16}} = \frac{66}{2\sqrt{7137}} = \frac{33}{\sqrt{7137}}$

平面AEDとOの距離をdとする。四面体OAEDの体積は$\frac{9\sqrt{2}}{16}$なので、

$\frac{1}{3} \times d \times S_{\triangle AED} = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

$S_{\triangle AED} = \frac{1}{2}|\vec{AE}| |\vec{DE}| \sin \angle AED = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{117}{16}} \sqrt{\frac{61}{16}} \sin \angle AED = \frac{1}{32}\sqrt{7137} \sin \angle AED$

$\sin^2 \angle AED = 1 - \cos^2 \angle AED = 1 - \frac{33^2}{7137} = \frac{7137 - 1089}{7137} = \frac{6048}{7137}$

$S_{\triangle AED} = \frac{1}{32}\sqrt{7137} \sqrt{\frac{6048}{7137}} = \frac{\sqrt{6048}}{32} = \frac{\sqrt{144 \times 42}}{32} = \frac{12 \sqrt{42}}{32} = \frac{3\sqrt{42}}{8}$

$\frac{1}{3} \times d \times \frac{3\sqrt{42}}{8} = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

$d \times \frac{\sqrt{42}}{8} = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

$d = \frac{9\sqrt{2}}{16} \times \frac{8}{\sqrt{42}} = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{21}} = \frac{9\sqrt{21}}{42} = \frac{3\sqrt{21}}{14}$

3. 最終的な答え

(1) △ABCの外接円の半径: $\sqrt{3}$

線分OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AEDの値: $\frac{33}{\sqrt{7137}}$

点Oから平面AEDに引いた垂線の長さ: $\frac{3\sqrt{21}}{14}$