円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DA=4$ であるとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DA=4$ であるとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の面積を求めるには、ブラーマグプタの公式を利用します。

まず、$s$ を四角形の半周長とすると、

$s = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

次に、ブラーマグプタの公式により、四角形の面積 $S$ は、

$S = \sqrt{(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-DA)} = \sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

したがって、四角形ABCDの面積は $2\sqrt{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6}$