三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$のとき、$BC$の長さを求めなさい。ただし、角Aが120度とする。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=3$のとき、$BC$の長さを求めなさい。ただし、角Aが120度とする。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$BC$の長さを求めます。

余弦定理は、三角形ABCにおいて、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$とすると、以下の式で表されます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

問題の条件から、$b=3$, $c=4$, $A=120^{\circ}$なので、余弦定理に代入すると

$a^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 120^{\circ}$

$\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$なので、

$a^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2})$

$a^2 = 25 + 12$

$a^2 = 37$

$a = \sqrt{37}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{37}$