四面体ABCDにおいて、辺ADの中点をM、辺BCの中点をNとする。$\vec{MN} = s\vec{AB} + t\vec{DC}$ を満たす実数 $s, t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、辺ADの中点をM、辺BCの中点をNとする。$\vec{MN} = s\vec{AB} + t\vec{DC}$ を満たす実数 $s, t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{MN}$ を $\vec{AM}$, $\vec{AB}$, $\vec{BN}$ で表すことを考える。

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$

$\vec{MB} = \vec{AB} - \vec{AM}$

$\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AD}$ なので、

$\vec{MB} = \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AD}$

また、$\vec{BN} = \frac{1}{2} \vec{BC}$

したがって、

$\vec{MN} = \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AD} + \frac{1}{2} \vec{BC}$

ここで、$\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$

$\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AC} - \vec{DC}$

よって、

$\vec{MN} = \vec{AB} - \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{DC}) + \frac{1}{2}(-\vec{AB} + \vec{AC})$

$= \vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{DC} - \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

$= \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{DC}$

$\vec{MN} = s\vec{AB} + t\vec{DC}$ と比較すると、

$s = \frac{1}{2}$

$t = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{1}{2}$

$t = \frac{1}{2}$