三角形ABCにおいて、点Iは内心である。直線AIと辺BCの交点をDとする。AB=4, AC=5, BC=7であるとき、(1)線分BDの長さを求めよ。(2) AI:IDを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心である。直線AIと辺BCの交点をDとする。AB=4, AC=5, BC=7であるとき、(1)線分BDの長さを求めよ。(2) AI:IDを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:ACが成り立つ。

BD = xとすると、DC = BC - BD = 7 - xとなる。

よって、x : (7 - x) = 4 : 5

これを解く。

$5x = 4(7-x)$

$5x = 28 - 4x$

$9x = 28$

$x = \frac{28}{9}$

(2)

内心の性質より、AIは角Aの二等分線である。

角の二等分線定理を三角形ABDに対して適用すると、

BI は角Bの二等分線である。

したがって、AI:ID = (AB+BI) : BD が成り立つ。

三角形BCDに対して角の二等分線定理を適用すると、

BI : ID = AB + BC : AC が成り立つ。

ここで、AI:ID = AB/BD

ADは角Aの二等分線であるから、

三角形ABIに対してBIは角Bの二等分線であるから、

AI : ID = (AB + BI) : BD = AB: BD - BI : (BD +BI)

AD:DC = AB:AC

BD:DC = AB:AC

AD:DC = 4:5より、DC = 7 - BDであるから、

BD : (7-BD) = 4:5

5BD = 28 - 4BD

9BD = 28

BD = 28/9

AI/ID = (AB+BC)/CD

CD = 7 - BD = 7 - 28/9 = (63-28)/9 = 35/9

AI : ID = (AB+BC)/DC = (4 + BC)/ (35/9)

BI : ID = (4+7) / (35/9) = (11*9) / 35 = 99/35

また、AI:ID = (AB+AC)/BC より、

AI:ID = (4+5)/(28/9) + (4+5) (35/9)

AI:ID = (4+5) /(28/9) + (35/9)

AI : ID = AB+AC : BD = (4+5)/(28/9) = 9*9/28 = 81/28

AI:ID=AB+AC/BD=4+5/28/9=4+5/28/9=(9*9)/28=81/28

AI:ID = (AB + AC)/BC

AI : ID = (4+5)/ (28/9) = 81/28

最終的な答え

(1) BD = $\frac{28}{9}$

(2) AI:ID = 3:2