直線 $l: 3x - y + 4 = 0$ に関して、点 $A(2, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

## 問題5

1. 問題の内容

直線 $l: 3x - y + 4 = 0$ に関して、点 $A(2, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とします。

点 $A$ と点 $B$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にあり、直線 $AB$ は直線 $l$ に垂直です。

まず、点 $A(2, 0)$ と点 $B(x, y)$ の中点 $M$ の座標を求めます。

$M = \left(\frac{2+x}{2}, \frac{0+y}{2}\right) = \left(\frac{2+x}{2}, \frac{y}{2}\right)$

この中点 $M$ が直線 $l$ 上にあるので、$l$ の式に代入します。

$3\left(\frac{2+x}{2}\right) - \frac{y}{2} + 4 = 0$

両辺を2倍して整理すると、

$3(2+x) - y + 8 = 0$

$6 + 3x - y + 8 = 0$

$3x - y + 14 = 0$ --- (1)

次に、直線 $AB$ の傾きを求めます。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - 0}{x - 2} = \frac{y}{x - 2}$

直線 $l$ の傾きは、方程式 $3x - y + 4 = 0$ から $y = 3x + 4$ と変形できるので、3 です。

直線 $AB$ と直線 $l$ は垂直なので、それぞれの傾きの積は $-1$ です。

$\frac{y}{x - 2} \cdot 3 = -1$

$3y = -x + 2$

$x + 3y - 2 = 0$ --- (2)

(1) と (2) の連立方程式を解きます。

(1): $3x - y + 14 = 0$

(2): $x + 3y - 2 = 0$

(1) より $y = 3x + 14$ を (2) に代入します。

$x + 3(3x + 14) - 2 = 0$

$x + 9x + 42 - 2 = 0$

$10x + 40 = 0$

$10x = -40$

$x = -4$

$x = -4$ を $y = 3x + 14$ に代入します。

$y = 3(-4) + 14$

$y = -12 + 14$

$y = 2$

したがって、点 $B$ の座標は $(-4, 2)$ です。

3. 最終的な答え

$B(-4, 2)$

## 問題6

1. 問題の内容

直線 $l: x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とします。

点 $A$ と点 $B$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にあり、直線 $AB$ は直線 $l$ に垂直です。

まず、点 $A(3, 2)$ と点 $B(x, y)$ の中点 $M$ の座標を求めます。

$M = \left(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$

この中点 $M$ が直線 $l$ 上にあるので、$l$ の式に代入します。

$\frac{3+x}{2} + \frac{2+y}{2} + 1 = 0$

両辺を2倍して整理すると、

$3 + x + 2 + y + 2 = 0$

$x + y + 7 = 0$ --- (1)

次に、直線 $AB$ の傾きを求めます。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - 2}{x - 3}$

直線 $l$ の傾きは、方程式 $x + y + 1 = 0$ から $y = -x - 1$ と変形できるので、$-1$ です。

直線 $AB$ と直線 $l$ は垂直なので、それぞれの傾きの積は $-1$ です。

$\frac{y - 2}{x - 3} \cdot (-1) = -1$

$\frac{y - 2}{x - 3} = 1$

$y - 2 = x - 3$

$x - y - 1 = 0$ --- (2)

(1) と (2) の連立方程式を解きます。

(1): $x + y + 7 = 0$

(2): $x - y - 1 = 0$

(1) + (2) を計算すると、

$2x + 6 = 0$

$2x = -6$

$x = -3$

$x = -3$ を (2) に代入します。

$-3 - y - 1 = 0$

$-y = 4$

$y = -4$

したがって、点 $B$ の座標は $(-3, -4)$ です。

3. 最終的な答え

$B(-3, -4)$