半径2の円Aと半径3の円Bが点Cで接している。2円の共通接線をlとし、点Dは円A, 点Eは円Bとの接点とする。このとき、線分DEの長さと線分CDの長さを求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

半径2の円Aと半径3の円Bが点Cで接している。2円の共通接線をlとし、点Dは円A, 点Eは円Bとの接点とする。このとき、線分DEの長さと線分CDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分DEの長さを求める。

* まず、点Aから線分BEに垂線を引き、交点をFとする。

* すると、四角形ADEFは長方形になる。

* よって、$AF = DE$, $AD = EF = 2$である。

* また、$BF = BE - EF = 3 - 2 = 1$となる。

* 直角三角形ABFにおいて、三平方の定理より、$AB^2 = AF^2 + BF^2$が成り立つ。

* $AB = 2 + 3 = 5$だから、$5^2 = AF^2 + 1^2$となり、$AF^2 = 25 - 1 = 24$。

* よって、$AF = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。

* したがって、$DE = 2\sqrt{6}$。

(2) 線分CDの長さを求める。

* 円Aの中心Aから線分CDに垂線を下ろし交点をGとする。

* 円Bの中心Bから線分CDに垂線を下ろし交点をHとする。

* このとき、CDは共通接線なので、$\angle AGC = \angle BHC = 90^\circ$。

* また、線分ABの長さは $2 + 3 = 5$。

* $\triangle ABK$ は直角三角形であり、$AK = 3 - 2 = 1$。

* $BK = CD$ であり、三平方の定理から、$AB^2 = AK^2 + BK^2$。

* よって、$5^2 = 1^2 + CD^2$となり、$CD^2 = 25 - 1 = 24$。

* したがって、$CD = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。

3. 最終的な答え

(1) 線分DEの長さ: $2\sqrt{6}$

(2) 線分CDの長さ: $2\sqrt{6}$