与えられた条件から円の方程式を求めたり、与えられた円の方程式から中心の座標と半径を求める問題です。具体的には、 (1) 中心と半径が与えられたときの円の方程式を求める。 (2) 円の方程式が与えられたとき、中心の座標と半径を求める。 (3) 円の直径の両端の座標が与えられたとき、円の方程式を求める。 (4) 円の方程式が与えられたとき、中心の座標と半径を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件から円の方程式を求めたり、与えられた円の方程式から中心の座標と半径を求める問題です。具体的には、

(1) 中心と半径が与えられたときの円の方程式を求める。

(2) 円の方程式が与えられたとき、中心の座標と半径を求める。

(3) 円の直径の両端の座標が与えられたとき、円の方程式を求める。

(4) 円の方程式が与えられたとき、中心の座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式の一般形は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ であり、ここで $(a, b)$ は中心の座標、 $r$ は半径です。

* ①中心 $(1, -2)$, 半径 $3$ の円の方程式は、$(x-1)^2 + (y-(-2))^2 = 3^2$ より、$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$ となります。

* ②原点 $(0, 0)$ を中心とする半径 $4$ の円の方程式は、$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 4^2$ より、$x^2 + y^2 = 16$ となります。

(2) 円の方程式が与えられたとき、中心の座標と半径を求めます。

* ① $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 10$ は、中心 $(-2, 1)$, 半径 $\sqrt{10}$ の円を表します。

* ② $x^2 + y^2 = 12$ は、中心 $(0, 0)$, 半径 $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ の円を表します。

(3) 円の直径の両端の座標が与えられたとき、円の方程式を求めます。

* ① $A(1, 2), B(5, 6)$ を直径の両端とする円の中心は、線分 $AB$ の中点であるため、中心の座標は $(\frac{1+5}{2}, \frac{2+6}{2}) = (3, 4)$ となります。半径は、中心から点 $A$ までの距離なので、$\sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ となります。したがって、円の方程式は $(x-3)^2 + (y-4)^2 = (2\sqrt{2})^2$ より、$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 8$ となります。

* ② $A(-1, 4), B(3, 2)$ を直径の両端とする円の中心は、線分 $AB$ の中点であるため、中心の座標は $(\frac{-1+3}{2}, \frac{4+2}{2}) = (1, 3)$ となります。半径は、中心から点 $A$ までの距離なので、$\sqrt{(1-(-1))^2 + (3-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$ となります。したがって、円の方程式は $(x-1)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt{5})^2$ より、$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5$ となります。

(4) 円の方程式が与えられたとき、中心の座標と半径を求めます。

* ① $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ を変形します。$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 4 = 0$ となり、平方完成を行うと、$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 4 - 4 - 9 = 0$ となります。よって、$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9$ となり、中心 $(2, -3)$, 半径 $3$ の円を表します。

* ② $x^2 + y^2 + 2x = 0$ を変形します。$(x^2 + 2x) + y^2 = 0$ となり、平方完成を行うと、$(x^2 + 2x + 1) + y^2 - 1 = 0$ となります。よって、$(x+1)^2 + y^2 = 1$ となり、中心 $(-1, 0)$, 半径 $1$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) ① $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$

② $x^2 + y^2 = 16$

(2) ① 中心 $(-2, 1)$, 半径 $\sqrt{10}$

② 中心 $(0, 0)$, 半径 $2\sqrt{3}$

(3) ① $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 8$

② $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5$

(4) ① 中心 $(2, -3)$, 半径 $3$

② 中心 $(-1, 0)$, 半径 $1$