与えられた画像には、いくつかの数学の問題があります。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = x$ の共有点の座標を求める。 (2) 次の円と直線の共有点の個数を求める。 ① $x^2 + y^2 = 4$, $y = -x + 1$ ② $x^2 + y^2 = 3$, $y = x + 3$ (3) 2点 $A(4, 0)$, $B(1, 0)$ に対し、距離 $AP$ が距離 $BP$ の2倍である点 $P$ の軌跡を求める。 (4) 不等式 $2x - y + 1 \le 0$ の表す領域を図示する。 (5) 次の連立不等式を表す領域を図示する。 $x^2 + y^2 \le 9$ $y \le x + 1$

1. 問題の内容

与えられた画像には、いくつかの数学の問題があります。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = x$ の共有点の座標を求める。

(2) 次の円と直線の共有点の個数を求める。

① $x^2 + y^2 = 4$, $y = -x + 1$

② $x^2 + y^2 = 3$, $y = x + 3$

(3) 2点 $A(4, 0)$, $B(1, 0)$ に対し、距離 $AP$ が距離 $BP$ の2倍である点 $P$ の軌跡を求める。

(4) 不等式 $2x - y + 1 \le 0$ の表す領域を図示する。

(5) 次の連立不等式を表す領域を図示する。

$x^2 + y^2 \le 9$

$y \le x + 1$

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = x$ の交点を求めるには、直線の式を円の式に代入します。

$x^2 + (x)^2 = 2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ のとき $y = 1$, $x = -1$ のとき $y = -1$.

よって、共有点の座標は $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ です。

(2) 円と直線の共有点の個数を求めるには、判別式を利用します。

① $x^2 + y^2 = 4$, $y = -x + 1$

$x^2 + (-x + 1)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 4$

$2x^2 - 2x - 3 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(2)(-3) = 4 + 24 = 28 > 0$

したがって、共有点は2個です。

② $x^2 + y^2 = 3$, $y = x + 3$

$x^2 + (x + 3)^2 = 3$

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 3$

$2x^2 + 6x + 6 = 0$

$x^2 + 3x + 3 = 0$

判別式 $D = (3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3 < 0$

したがって、共有点は0個です。

(3) 点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$AP = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}$、$BP = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$

$AP = 2BP$ なので、

$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$

両辺を2乗して

$(x - 4)^2 + y^2 = 4((x - 1)^2 + y^2)$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

$3x^2 + 3y^2 = 12$

$x^2 + y^2 = 4$

これは、中心が原点、半径が2の円を表します。

(4) 不等式 $2x - y + 1 \le 0$ を変形すると、$y \ge 2x + 1$ となります。

これは、直線 $y = 2x + 1$ の上側の領域を表します。境界線を含む。

(5) 連立不等式 $x^2 + y^2 \le 9$, $y \le x + 1$

$x^2 + y^2 \le 9$ は、中心が原点、半径が3の円の内部（境界を含む）を表します。

$y \le x + 1$ は、直線 $y = x + 1$ の下側の領域（境界を含む）を表します。

したがって、求める領域は、半径3の円の内部で、かつ直線 $y = x + 1$ の下側の領域です。

3. 最終的な答え

(1) $(1, 1), (-1, -1)$

(2) ① 2個 ② 0個

(3) $x^2 + y^2 = 4$

(4) 直線 $y = 2x + 1$ の上側の領域（境界を含む）

(5) 半径3の円の内部で、かつ直線 $y = x + 1$ の下側の領域（境界を含む）