点と直線の距離を求める問題です。今回は問題番号(2),(4),(6)について解答します。 (2) 点(2, 1)と直線 $x + 2y - 3 = 0$ の距離 (4) 点(-3, 2)と直線 $2x - 3y + 6 = 0$ の距離 (6) 点(-2, 5)と直線 $x = 3$ の距離

1. 問題の内容

点と直線の距離を求める問題です。今回は問題番号(2),(4),(6)について解答します。

(2) 点(2, 1)と直線 $x + 2y - 3 = 0$ の距離

(4) 点(-3, 2)と直線 $2x - 3y + 6 = 0$ の距離

(6) 点(-2, 5)と直線 $x = 3$ の距離

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で計算できます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(2)

点 $(x_0, y_0) = (2, 1)$、直線 $x + 2y - 3 = 0$ より、$a = 1$, $b = 2$, $c = -3$。

公式に代入すると、

$d = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

分母を有理化すると、

$d = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(4)

点 $(x_0, y_0) = (-3, 2)$、直線 $2x - 3y + 6 = 0$ より、$a = 2$, $b = -3$, $c = 6$。

公式に代入すると、

$d = \frac{|2 \cdot (-3) - 3 \cdot 2 + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-6 - 6 + 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-6|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$

分母を有理化すると、

$d = \frac{6}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}$

(6)

点 $(x_0, y_0) = (-2, 5)$、直線 $x = 3$、すなわち $x - 3 = 0$ より、$a = 1$, $b = 0$, $c = -3$。

公式に代入すると、

$d = \frac{|1 \cdot (-2) + 0 \cdot 5 - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-2 - 3|}{\sqrt{1}} = \frac{|-5|}{1} = 5$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(4) $\frac{6\sqrt{13}}{13}$

(6) $5$