与えられた数学の問題は、以下の4つの部分から構成されています。 (1) 2点A(-2, -1)とB(2, 7)を結ぶ線分ABを3:1に内分する点Pの座標を求める。 (2) 2点A(-1, 3)とB(4, 5)を結ぶ線分ABを2:1に外分する点Pの座標を求める。 (3) 3点A(2, 7), B(-4, -2), C(5, 4)を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求める。 (4) 次の3つの直線の方程式を求める。 ① 2点A(2, 3), B(4, -1)を通る直線の方程式 ② 点(3, 1)を通り、直線 $y = -2x + 5$ に平行な直線の方程式 ③ 点(3, 1)を通り、直線 $y = -2x + 5$ に垂直な直線の方程式

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の4つの部分から構成されています。

(1) 2点A(-2, -1)とB(2, 7)を結ぶ線分ABを3:1に内分する点Pの座標を求める。

(2) 2点A(-1, 3)とB(4, 5)を結ぶ線分ABを2:1に外分する点Pの座標を求める。

(3) 3点A(2, 7), B(-4, -2), C(5, 4)を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求める。

(4) 次の3つの直線の方程式を求める。

① 2点A(2, 3), B(4, -1)を通る直線の方程式

② 点(3, 1)を通り、直線 $y = -2x + 5$ に平行な直線の方程式

③ 点(3, 1)を通り、直線 $y = -2x + 5$ に垂直な直線の方程式

2. 解き方の手順

(1) 線分ABをm:nに内分する点Pの座標は、$P(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$で求められます。

この問題では、$A(-2, -1)$, $B(2, 7)$, $m=3$, $n=1$なので、

$P(\frac{1*(-2) + 3*2}{3+1}, \frac{1*(-1) + 3*7}{3+1}) = P(\frac{-2+6}{4}, \frac{-1+21}{4}) = P(\frac{4}{4}, \frac{20}{4}) = P(1, 5)$

(2) 線分ABをm:nに外分する点Pの座標は、$P(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$で求められます。

この問題では、$A(-1, 3)$, $B(4, 5)$, $m=2$, $n=1$なので、

$P(\frac{-1*(-1) + 2*4}{2-1}, \frac{-1*3 + 2*5}{2-1}) = P(\frac{1+8}{1}, \frac{-3+10}{1}) = P(9, 7)$

(3) 3点$A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$を頂点とする三角形の重心Gの座標は、$G(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$で求められます。

この問題では、$A(2, 7)$, $B(-4, -2)$, $C(5, 4)$なので、

$G(\frac{2+(-4)+5}{3}, \frac{7+(-2)+4}{3}) = G(\frac{3}{3}, \frac{9}{3}) = G(1, 3)$

(4)

① 2点$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$を通る直線の方程式は、$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$で求められます。

$A(2, 3)$, $B(4, -1)$なので、$y - 3 = \frac{-1 - 3}{4 - 2}(x - 2) = \frac{-4}{2}(x - 2) = -2(x - 2)$

$y - 3 = -2x + 4$

$y = -2x + 7$

② 直線 $y = -2x + 5$ に平行な直線の傾きは-2です。点(3, 1)を通り、傾きが-2の直線の方程式は、$y - 1 = -2(x - 3)$

$y - 1 = -2x + 6$

$y = -2x + 7$

③ 直線 $y = -2x + 5$ に垂直な直線の傾きは$\frac{1}{2}$です。点(3, 1)を通り、傾きが$\frac{1}{2}$の直線の方程式は、$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$

$2y - 2 = x - 3$

$2y = x - 1$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) (1, 5)

(2) (9, 7)

(3) (1, 3)

(4)

① $y = -2x + 7$

② $y = -2x + 7$

③ $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$