直線 $y = 2x + 5$ が、円 $x^2 + y^2 = 16$ によって切り取られる線分の長さを求め、その線分の中点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 5$ が、円 $x^2 + y^2 = 16$ によって切り取られる線分の長さを求め、その線分の中点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線と円の交点の座標を求める。直線の式 $y = 2x + 5$ を円の式 $x^2 + y^2 = 16$ に代入する。

$x^2 + (2x + 5)^2 = 16$

$x^2 + 4x^2 + 20x + 25 = 16$

$5x^2 + 20x + 9 = 0$

(2) 上記の二次方程式の解を $x_1$ と $x_2$ とする。解の公式を用いると

$x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 180}}{10} = \frac{-20 \pm \sqrt{220}}{10} = \frac{-20 \pm 2\sqrt{55}}{10} = \frac{-10 \pm \sqrt{55}}{5}$

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{55}}{5}$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{55}}{5}$

(3) $y_1 = 2x_1 + 5 = 2\left(\frac{-10 + \sqrt{55}}{5}\right) + 5 = \frac{-20 + 2\sqrt{55}}{5} + \frac{25}{5} = \frac{5 + 2\sqrt{55}}{5}$

$y_2 = 2x_2 + 5 = 2\left(\frac{-10 - \sqrt{55}}{5}\right) + 5 = \frac{-20 - 2\sqrt{55}}{5} + \frac{25}{5} = \frac{5 - 2\sqrt{55}}{5}$

(4) 交点の座標は $(\frac{-10 + \sqrt{55}}{5}, \frac{5 + 2\sqrt{55}}{5})$ と $(\frac{-10 - \sqrt{55}}{5}, \frac{5 - 2\sqrt{55}}{5})$ となる。

(5) 線分の長さを $L$ とすると、

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{\left(\frac{-2\sqrt{55}}{5}\right)^2 + \left(\frac{-4\sqrt{55}}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{4 \cdot 55}{25} + \frac{16 \cdot 55}{25}} = \sqrt{\frac{20 \cdot 55}{25}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 55}{5}} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$

(6) 線分の中点の座標を $(x_m, y_m)$ とすると、

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{\frac{-10 + \sqrt{55}}{5} + \frac{-10 - \sqrt{55}}{5}}{2} = \frac{\frac{-20}{5}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{\frac{5 + 2\sqrt{55}}{5} + \frac{5 - 2\sqrt{55}}{5}}{2} = \frac{\frac{10}{5}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

線分の長さ: $2\sqrt{11}$

線分の中点の座標: $(-2, 1)$