正六面体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合う面どうしの頂点を結ぶことによって正六面体の中に正八面体ができます。 (1) 正六面体の1辺の長さが $10$ のとき、正八面体の体積を求めてください。 (2) 正八面体の1辺の長さが $6$ のとき、正八面体の体積を求めてください。

1. 問題の内容

正六面体の各面の対角線の交点を頂点とし、隣り合う面どうしの頂点を結ぶことによって正六面体の中に正八面体ができます。

(1) 正六面体の1辺の長さが $10$ のとき、正八面体の体積を求めてください。

(2) 正八面体の1辺の長さが $6$ のとき、正八面体の体積を求めてください。

2. 解き方の手順

正八面体は、正四角錐2つを底面で貼り合わせた形をしています。

(1) 正六面体の1辺の長さが $10$ の場合、正八面体の一辺は $10 / \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ となります。

正八面体を構成する正四角錐の底面は正方形で、その一辺の長さは $5\sqrt{2}$ です。

正四角錐の高さは、正六面体の半分の長さなので $10/2 = 5$ です。

正四角錐の体積は、

$V_{四角錐} = \frac{1}{3} \times (5\sqrt{2})^2 \times 5 = \frac{1}{3} \times 50 \times 5 = \frac{250}{3}$

正八面体の体積は、正四角錐2つ分の体積なので、

$V_{八面体} = 2 \times \frac{250}{3} = \frac{500}{3}$

(2) 正八面体の1辺の長さが $6$ の場合、正八面体を構成する正四角錐の底面は正方形で、その一辺の長さは $6$ です。

正四角錐の高さは $h = \sqrt{6^2 - (6/\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

正四角錐の体積は、

$V_{四角錐} = \frac{1}{3} \times 6^2 \times 3\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 36 \times 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$

正八面体の体積は、正四角錐2つ分の体積なので、

$V_{八面体} = 2 \times 36\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 正六面体の1辺の長さが $10$ のとき、正八面体の体積は $\frac{500}{3}$ です。

(2) 正八面体の1辺の長さが $6$ のとき、正八面体の体積は $72\sqrt{2}$ です。