円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 53^\circ$、$\angle AOB = 118^\circ$（ただしOは円の中心）、$\angle ADB = x$、$\angle ACB = y$であるとき、$x$と$y$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAC = 53^\circ$、$\angle AOB = 118^\circ$（ただしOは円の中心）、$\angle ADB = x$、$\angle ACB = y$であるとき、$x$と$y$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の値を求めます。

$\angle AOB = 118^\circ$ なので、円周角の定理より、$\angle ACB = y = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \times 118^\circ = 59^\circ$ となります。

次に、$\angle ABC$ を求めます。

$\angle ABC$は$\angle ABO + \angle OBC$で表すことができます。

$\triangle OAB$ は $OA=OB$ の二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA$ です。

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$ より、

$2\angle OBA + 118^\circ = 180^\circ$

$2\angle OBA = 62^\circ$

$\angle OBA = 31^\circ$

したがって、$\angle ABO = 31^\circ$ となります。

$\angle ACB = y = 59^\circ$ なので、$\angle OBC = \angle OCB$ です。

$y=59^\circ$なので、$\angle OBC + \angle OCB = 59^\circ + 59^\circ= 118^\circ$です。

$\triangle OBC$において、$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$であるため

$\angle BOC + 118^\circ = 180^\circ$

$\angle BOC = 62^\circ$ となります。

四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は180度です。

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

ここで、$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$で表すことができ、$\angle ADC = x + \angle ODC$です。

また、$\angle AOC$は円周角$\angle ADC$に対する中心角なので、$\angle AOC = 2 x$です。

$\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 360^\circ$

$118^\circ + 62^\circ + 2x = 360^\circ$

$180^\circ + 2x = 360^\circ$

$2x = 180^\circ$

$x = 90^\circ$

別の解法として、円周角の定理から $\angle ACB = \angle ADB = 59^\circ$ となります。したがって、$y = 59^\circ$ であり、$x = 59^\circ$ です。

3. 最終的な答え

$x = 59^\circ$

$y = 59^\circ$