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直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = AE = 1$とする。以下の内積を求める。 (1) $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$ (2) $\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GE}$ (4) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{FH}$ (5) $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CE}$

幾何学ベクトル内積空間図形
2025/6/30

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3AB = \sqrt{3}, AD=AE=1AD = AE = 1とする。以下の内積を求める。
(1) AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}
(2) AF→⋅BC→\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BC}
(3) AB→⋅GE→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GE}
(4) AC→⋅FH→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{FH}
(5) CA→⋅CE→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CE}

2. 解き方の手順

(1) AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}
AF→=AE→+EF→=AE→+AB→\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB}
AE→⋅AF→=AE→⋅(AE→+AB→)=AE→⋅AE→+AE→⋅AB→=∣AE→∣2+0=12=1\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} \cdot (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AE}|^2 + 0 = 1^2 = 1
(2) AF→⋅BC→\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BC}
BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}
AF→=AB→+BF→=AB→+AE→\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}
AF→⋅BC→=(AB→+AE→)⋅AD→=AB→⋅AD→+AE→⋅AD→=0+0=0\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}) \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 + 0 = 0
(3) AB→⋅GE→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GE}
GE→=AE→−AG→=AE→−(AB→+BC→+CG→)=AE→−(AB→+AD→+AE→)=−AB→−AD→\overrightarrow{GE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AE} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}) = \overrightarrow{AE} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}) = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}
AB→⋅GE→=AB→⋅(−AB→−AD→)=−AB→⋅AB→−AB→⋅AD→=−∣AB→∣2−0=−(3)2=−3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{AB} \cdot (-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = -|\overrightarrow{AB}|^2 - 0 = -(\sqrt{3})^2 = -3
(4) AC→⋅FH→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{FH}
AC→=AB→+BC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}
FH→=FG→+GH→=BC→−AB→=AD→−AB→\overrightarrow{FH} = \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}
AC→⋅FH→=(AB→+AD→)⋅(AD→−AB→)=AB→⋅AD→−AB→⋅AB→+AD→⋅AD→−AD→⋅AB→=0−∣AB→∣2+∣AD→∣2−0=−(3)2+12=−3+1=−2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{FH} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 - |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 - 0 = -(\sqrt{3})^2 + 1^2 = -3 + 1 = -2
(5) CA→⋅CE→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CE}
CA→=−AC→=−(AB→+AD→)\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})
CE→=AE→−AC→=AE→−(AB→+AD→)\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})
CA→⋅CE→=−(AB→+AD→)⋅(AE→−(AB→+AD→))=−(AB→+AD→)⋅(AE→−AB→−AD→)=−(AB→⋅AE→−AB→⋅AB→−AB→⋅AD→+AD→⋅AE→−AD→⋅AB→−AD→⋅AD→)=−(0−∣AB→∣2−0+0−0−∣AD→∣2)=−(−3−1)=−(−4)=4\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CE} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AE} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})) = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) = -(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD}) = -(0 - |\overrightarrow{AB}|^2 - 0 + 0 - 0 - |\overrightarrow{AD}|^2) = -(-3 - 1) = -(-4) = 4

3. 最終的な答え

(1) AE→⋅AF→=1\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 1
(2) AF→⋅BC→=0\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BC} = 0
(3) AB→⋅GE→=−3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{GE} = -3
(4) AC→⋅FH→=−2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{FH} = -2
(5) CA→⋅CE→=4\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CE} = 4

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