右図において、$AB = 3\sqrt{3}$, $AD = 3\sqrt{2}$であるとき、線分$AC$, $BC$の長さを求めよ。また、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

右図において、$AB = 3\sqrt{3}$, $AD = 3\sqrt{2}$であるとき、線分$AC$, $BC$の長さを求めよ。また、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分$AC, BC$の長さを求める。

$\triangle ADC$は$\angle ACD = 90^\circ$, $\angle ADC = 45^\circ$であるから直角二等辺三角形である。したがって、$AC = DC$である。

三平方の定理より、

$AD^2 = AC^2 + DC^2 = AC^2 + AC^2 = 2AC^2$

$AC^2 = \frac{AD^2}{2} = \frac{(3\sqrt{2})^2}{2} = \frac{18}{2} = 9$

よって、$AC = 3$.

$DC = AC = 3$.

$\triangle ABC$は直角三角形なので、三平方の定理より

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (3\sqrt{3})^2 - 3^2 = 27 - 9 = 18$.

よって、$BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

(2) $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$の値を求める。

まず、$BD = BC - DC = 3\sqrt{2} - 3 = 3(\sqrt{2} - 1)$.

$\sin\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\cos\theta = \frac{BD}{AB} = \frac{3(\sqrt{2}-1)}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$.

$\tan\theta = \frac{AC}{BD} = \frac{3}{3(\sqrt{2}-1)} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1$.

3. 最終的な答え

$AC = 3$

$BC = 3\sqrt{2}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$

$\tan\theta = \sqrt{2} + 1$