台形ABCDにおいて、AB=7, BC=6, CD=3, $\angle B = \angle C = 90^\circ$である。点PはAを出発し、台形の辺上をB, C, Dの順にDまで動く。点PがAから動いた道のりを$x$、$\triangle APD$の面積を$y$とする。 (1) 点Pが辺AB上を動くとき、$y$を$x$の式で表す。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$を$x$の式で表す。 (3) 点Pが辺CD上を動くとき、$y$を$x$の式で表す。 (4) $y$の値が台形ABCDの面積の半分になるときの$x$の値を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AB=7, BC=6, CD=3, $\angle B = \angle C = 90^\circ$である。点PはAを出発し、台形の辺上をB, C, Dの順にDまで動く。点PがAから動いた道のりを$x$、$\triangle APD$の面積を$y$とする。

(1) 点Pが辺AB上を動くとき、$y$を$x$の式で表す。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$を$x$の式で表す。

(3) 点Pが辺CD上を動くとき、$y$を$x$の式で表す。

(4) $y$の値が台形ABCDの面積の半分になるときの$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず台形ABCDの面積を求める。台形ABCDの面積は、

$\frac{(上底+下底) \times 高さ}{2} = \frac{(3+7) \times 6}{2} = \frac{10 \times 6}{2} = 30$

である。

(1) 点Pが辺AB上を動くとき、$0 \le x \le 7$である。

$\triangle APD$の面積は、底辺をAPとすると高さはCD=6。

$y = \frac{1}{2} \times x \times 3 = \frac{3}{2}x$

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$7 \le x \le 7+6=13$である。

APの長さはピタゴラスの定理より、$AP = \sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$

$\triangle APD$の面積は、台形ABCDの面積から$\triangle ABP$と$\triangle PCD$を引くことで求められる。

$\triangle ABP = \frac{1}{2} \times AB \times BP = \frac{1}{2} \times 7 \times (x-7) = \frac{7}{2}(x-7)$

$\triangle PCD = \frac{1}{2} \times PC \times CD = \frac{1}{2} \times (13-x) \times 3 = \frac{3}{2}(13-x)$

したがって、

$y = 30 - \frac{7}{2}(x-7) - \frac{3}{2}(13-x) = 30 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{2} - \frac{3}{2} \times 13 + \frac{3}{2}x = 30 - \frac{4}{2}x + \frac{49}{2} - \frac{39}{2} = 30 - 2x + 5 = 35 - 2x$

(3) 点Pが辺CD上を動くとき、$13 \le x \le 13+3=16$である。

$DP = 16-x$

$y = \frac{1}{2} \times DP \times BC = \frac{1}{2} \times (16-x) \times 6 = 3(16-x) = 48 - 3x$

(4) 台形ABCDの面積の半分は$30/2=15$である。

(1) $y = \frac{3}{2}x = 15$, $x = 10$。これは$0 \le x \le 7$を満たさないので不適。

(2) $y = 35-2x = 15$, $2x = 20$, $x = 10$。これは$7 \le x \le 13$を満たすので適する。

(3) $y = 48-3x = 15$, $3x = 33$, $x = 11$。これは$13 \le x \le 16$を満たさないので不適。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{2}x$

(2) $y = 35-2x$

(3) $y = 48-3x$

(4) $x=10$