半径 $\sqrt{2}$ の円 $x^2+y^2=2$ 上の点 P(x1, y1) における接線が点 (3, 1) を通るとき、接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $\sqrt{2}$ の円 $x^2+y^2=2$ 上の点 P(x1, y1) における接線が点 (3, 1) を通るとき、接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

手順1：円上の接点の座標を P(x1, y1) とすると、$x_1^2+y_1^2=2$ ... (1) が成り立ちます。

手順2：点 P(x1, y1) における円の接線の方程式は $x_1x+y_1y=2$ と表されます。

手順3：この接線が点 (3, 1) を通るので、$3x_1+y_1=2$ ... (2) が成り立ちます。

手順4：式(1)と(2)から $y_1$ を消去します。式(2)より $y_1=2-3x_1$ なので、これを式(1)に代入すると、

$x_1^2+(2-3x_1)^2=2$

$x_1^2+4-12x_1+9x_1^2=2$

$10x_1^2-12x_1+2=0$

$5x_1^2-6x_1+1=0$

$(5x_1-1)(x_1-1)=0$

$x_1=\frac{1}{5}, 1$

手順5：$x_1$ の値を式(2)に代入して、$y_1$ の値を求めます。

$x_1=\frac{1}{5}$ のとき、$y_1=2-3(\frac{1}{5})=2-\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$

$x_1=1$ のとき、$y_1=2-3(1)=2-3=-1$

手順6：求めた $x_1$ と $y_1$ の値を接線の方程式 $x_1x+y_1y=2$ に代入して、接線の方程式を求めます。

点 ($\frac{1}{5}, \frac{7}{5}$) における接線の方程式は、$\frac{1}{5}x+\frac{7}{5}y=2$ より $x+7y=10$

点 (1, -1) における接線の方程式は、$1x+(-1)y=2$ より $x-y=2$

3. 最終的な答え

接線の方程式と接点の座標は以下のようになります。

$x+7y=10$, 接点 ($\frac{1}{5}, \frac{7}{5}$)

$x-y=2$, 接点 (1, -1)