三角形ABCの外接円Oがあり、点Aにおける円Oの接線とCBの延長との交点をDとする。点Bを通ってADに平行な直線と円OのB以外の交点をEとし、ACとBEの交点をFとする。$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 8$のとき、$AD$と$BE$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの外接円Oがあり、点Aにおける円Oの接線とCBの延長との交点をDとする。点Bを通ってADに平行な直線と円OのB以外の交点をEとし、ACとBEの交点をFとする。$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 8$のとき、$AD$と$BE$の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$AD$の長さを求める。

円Oの接線と弦の作る角の定理より、$\angle DAB = \angle BCA$である。

また、$\angle ADB = \angle CAD$ (共通)なので、$\triangle DAB \sim \triangle DCA$。

したがって、

$\frac{DA}{DC} = \frac{AB}{CA} = \frac{DB}{DA}$

$DA^2 = DB \cdot DC = DB \cdot (DB + BC)$

$DA^2 = DB^2 + DB \cdot BC$

また、$\frac{DA}{DC} = \frac{AB}{CA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$より、$DC = \frac{4}{3}DA$である。

$DC = DB + BC$ より、$\frac{4}{3}DA = DB + 7$となるので、$DB = \frac{4}{3}DA - 7$

$DA^2 = (\frac{4}{3}DA - 7)^2 + (\frac{4}{3}DA - 7) \cdot 7$

$DA^2 = \frac{16}{9}DA^2 - \frac{56}{3}DA + 49 + \frac{28}{3}DA - 49$

$0 = \frac{7}{9}DA^2 - \frac{28}{3}DA$

$0 = DA(\frac{7}{9}DA - \frac{28}{3})$

$DA \neq 0$より、$\frac{7}{9}DA = \frac{28}{3}$

$DA = \frac{28}{3} \cdot \frac{9}{7} = 4 \cdot 3 = 12$

よって、$AD = 12$

次に、$BE$の長さを求める。

$BE // AD$より、$\angle ABE = \angle DAB = \angle BCA$

$\angle BAE = \angle BCE$（円周角の定理）

したがって、$\triangle ABE \sim \triangle CBE$

$\frac{AB}{CB} = \frac{BE}{AE} = \frac{AE}{CE}$

$\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{BE}$

$\frac{6}{7} = \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{AE}$

$\angle EBC = \angle EAC$（円周角の定理）

$\angle BEC = \angle BAC$（円周角の定理）

$\angle BCA = \angle DAB$より、$\angle DAB = \angle ABE$

$BE$は$AD$と平行なので、錯角より$\angle CBE = \angle ADB = \angle CAD$

また、$\angle ACB = \angle AEB$なので、$\angle BCA = \angle AEB = \angle DAB$

$\angle CAE = \angle CBE$

$\angle DAB = \angle ABE = \angle ACB = \angle AEB$

$AD // BE$より、四角形$ADBE$は等脚台形である。

したがって、$AE = BD$

$DB = \frac{4}{3}DA - 7 = \frac{4}{3} \cdot 12 - 7 = 16 - 7 = 9$

$AE = 9$

$\frac{6}{7} = \frac{BE}{AE} = \frac{AE}{CE}$

$\frac{AB}{CB} = \frac{6}{7} = \frac{AE}{BE}$なので、$BE = \frac{7}{6}AE = \frac{7}{6} \cdot 9 = \frac{21}{2}$

3. 最終的な答え

$AD = 12$

$BE = \frac{21}{2}$