三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、直線AIと辺BCの交点をDとする。AB=4, AC=5, BC=7であるとき、 (1) 線分BDの長さを求める。 (2) AI:IDを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、直線AIと辺BCの交点をDとする。AB=4, AC=5, BC=7であるとき、

(1) 線分BDの長さを求める。

(2) AI:IDを求める。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:AC が成り立つ。

したがって、BD:DC = 4:5となる。

BDの長さをxとすると、DCの長さは7-xと表せる。

よって、x:(7-x) = 4:5 という比例式が成り立つ。

この比例式を解く。

$5x = 4(7-x)$

$5x = 28 - 4x$

$9x = 28$

$x = \frac{28}{9}$

したがって、BDの長さは$\frac{28}{9}$である。

(2) 三角形ABDにおいて、BIは角Bの二等分線なので、AI:ID = BA:BD が成り立つ。

BA = 4であり、BD = $\frac{28}{9}$であるから、

AI:ID = $4:\frac{28}{9}$

AI:ID = $36:28$

AI:ID = $9:7$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{28}{9}$

(2) 9:7