3辺の長さが $a-1$, $a$, $a+1$ である三角形について、以下の2つの問いに答えます。 (1) この三角形が鈍角三角形であるとき、$a$ の範囲を求めます。 (2) この三角形の1つの内角が $150^\circ$ であるとき、外接円の半径を求めます。

1. 問題の内容

3辺の長さが $a-1$, $a$, $a+1$ である三角形について、以下の2つの問いに答えます。

(1) この三角形が鈍角三角形であるとき、$a$ の範囲を求めます。

(2) この三角形の1つの内角が $150^\circ$ であるとき、外接円の半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 鈍角三角形の条件を考えます。

まず、$a-1, a, a+1$ が三角形の辺の長さであるためには、$a-1>0$ より $a>1$ が必要です。

また、三角形の成立条件から

$(a-1) + a > a+1$,

$(a-1) + (a+1) > a$,

$a + (a+1) > a-1$

である必要があり、これらはすべて $a>1$ を満たします。

次に、鈍角三角形になる条件を考えます。

最も長い辺は $a+1$ なので、$a+1$ に対する角が鈍角である必要があります。

余弦定理より、

$(a+1)^2 > a^2 + (a-1)^2$

$a^2 + 2a + 1 > a^2 + a^2 - 2a + 1$

$0 > a^2 - 4a$

$a(a-4) < 0$

$0 < a < 4$

よって、$1 < a < 4$ と $0 < a < 4$ から、$1 < a < 4$ が必要です。

(2) 1つの内角が $150^\circ$ であるとき、外接円の半径を求めます。

正弦定理より、外接円の半径 $R$ について、$\frac{b}{\sin B} = 2R$ が成り立ちます。ここで、$b$ は三角形の辺の長さ、$B$ はその対角です。

角が $150^\circ$ となる辺の長さを考えます。

i) $a-1$ の対角が $150^\circ$ のとき

$\frac{a-1}{\sin 150^\circ} = 2R$

$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ より、$R = a-1$

余弦定理より、$(a-1)^2 = a^2 + (a+1)^2 - 2 a (a+1) \cos 150^\circ$

$a^2 - 2a + 1 = a^2 + a^2 + 2a + 1 - 2a(a+1) (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$a^2 - 2a + 1 = 2a^2 + 2a + 1 + \sqrt{3} a(a+1)$

$0 = a^2 + 4a + \sqrt{3}a^2 + \sqrt{3}a$

$0 = (1+\sqrt{3})a^2 + (4+\sqrt{3})a$

$a \neq 0$ より、$(1+\sqrt{3})a + (4+\sqrt{3}) = 0$

$a = \frac{-(4+\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}} = \frac{-(4+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{-(4-4\sqrt{3}+\sqrt{3}-3)}{1-3} = \frac{-(1-3\sqrt{3})}{-2} = \frac{1-3\sqrt{3}}{2}$

これは $a > 1$ に反するので不適。

ii) $a$ の対角が $150^\circ$ のとき

$\frac{a}{\sin 150^\circ} = 2R$

$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ より、$R = a$

余弦定理より、$a^2 = (a-1)^2 + (a+1)^2 - 2(a-1)(a+1) \cos 150^\circ$

$a^2 = a^2 - 2a + 1 + a^2 + 2a + 1 - 2(a^2 - 1) (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$a^2 = 2a^2 + 2 + \sqrt{3}(a^2 - 1)$

$0 = a^2 + \sqrt{3}a^2 + 2 - \sqrt{3}$

$0 = (1+\sqrt{3})a^2 + (2-\sqrt{3})$

$a^2 = \frac{-(2-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}} = \frac{-(2-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{-(2-2\sqrt{3}-\sqrt{3}+3)}{-2} = \frac{-(5-3\sqrt{3})}{-2} = \frac{5-3\sqrt{3}}{2}$

$a = \sqrt{\frac{5-3\sqrt{3}}{2}}$

$a > 1$ を満たすことを確認。

iii) $a+1$ の対角が $150^\circ$ のとき

$\frac{a+1}{\sin 150^\circ} = 2R$

$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ より、$R = a+1$

余弦定理より、$(a+1)^2 = a^2 + (a-1)^2 - 2a(a-1) \cos 150^\circ$

$a^2 + 2a + 1 = a^2 + a^2 - 2a + 1 - 2a(a-1) (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$a^2 + 2a + 1 = 2a^2 - 2a + 1 + \sqrt{3}a(a-1)$

$0 = a^2 - 4a + \sqrt{3}a^2 - \sqrt{3}a$

$0 = (1+\sqrt{3})a^2 - (4+\sqrt{3})a$

$a \neq 0$ より、$(1+\sqrt{3})a - (4+\sqrt{3}) = 0$

$a = \frac{4+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{(4+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{4-4\sqrt{3}+\sqrt{3}-3}{-2} = \frac{1-3\sqrt{3}}{-2} = \frac{3\sqrt{3}-1}{2}$

$a > 1$ を満たすことを確認。

3. 最終的な答え

(1) $1 < a < 4$

(2) $R = \sqrt{\frac{5-3\sqrt{3}}{2}}$ または $R = \frac{3\sqrt{3}-1}{2} + 1 = \frac{3\sqrt{3}+1}{2}$