三角形ABCにおいて、点Iは内心である。線分AIと辺BCの交点をDとする。 AB = 4, AC = 5, BC = 7 のとき、以下の問いに答える。 (1) 線分BDの長さを求めよ。 (2) AI : ID を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心である。線分AIと辺BCの交点をDとする。

AB = 4, AC = 5, BC = 7 のとき、以下の問いに答える。

(1) 線分BDの長さを求めよ。

(2) AI : ID を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分BDの長さを求める。

内心Iは角の二等分線の交点なので、線分ADは角Aの二等分線である。

角の二等分線の性質より、

$BD:DC = AB:AC$

$BD:DC = 4:5$

また、$BD + DC = BC = 7$

$BD = x$ とすると、$DC = 7 - x$

$x:(7-x) = 4:5$

$5x = 4(7-x)$

$5x = 28 - 4x$

$9x = 28$

$x = \frac{28}{9}$

よって、$BD = \frac{28}{9}$

(2) AI : ID を求める。

角の二等分線の定理より、

$AB:BD = (AC + CD):ID$

$AC = 5, CD = 7 - BD = 7 - \frac{28}{9} = \frac{63 - 28}{9} = \frac{35}{9}$

$AB:BD = 4:\frac{28}{9} = 1:\frac{7}{9} = 9:7$

$AC + CD = 5 + \frac{35}{9} = \frac{45 + 35}{9} = \frac{80}{9}$

$AI:ID = (AB + AC):BC = (4 + 5):7 = 9:7$

別の解法として、三角形ABDにおいて線分BIは角Bの二等分線であるから、

$AI : ID = BA : BD = 4 : \frac{28}{9} = 4 \times \frac{9}{28} = \frac{9}{7}$

よって、$AI : ID = 9:7$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \frac{28}{9}$

(2) $AI:ID = 9:7$