正十二角形の12個の頂点から3点を選んで三角形を作ります。以下の問いに答えます。 (1) 正十二角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。 (2) 正十二角形と2辺を共有する三角形の個数を求めます。 (3) 正十二角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。 (4) 直角三角形の個数を求めます。

1. 問題の内容

正十二角形の12個の頂点から3点を選んで三角形を作ります。以下の問いに答えます。

(1) 正十二角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。

(2) 正十二角形と2辺を共有する三角形の個数を求めます。

(3) 正十二角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。

(4) 直角三角形の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 1辺だけを共有する三角形

正十二角形の1つの辺を選びます。これは12通りあります。

その辺と頂点を共有しない頂点は、12 - 4 = 8個あります。

したがって、1辺だけを共有する三角形の数は、12 * 8 = 96個です。

(2) 2辺を共有する三角形

正十二角形の1つの頂点を選びます。これは12通りあります。

その頂点から2辺を共有する三角形は1つだけです。

したがって、2辺を共有する三角形の数は、12 * 1 = 12個です。

(3) 辺を共有しない三角形

まず、正十二角形から3点を選んで作れる三角形の総数を求めます。

これは $_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ 個です。

次に、1辺だけを共有する三角形の数と2辺を共有する三角形の数の合計を求めます。

これは 96 + 12 = 108個です。

辺を共有しない三角形の数は、三角形の総数から辺を共有する三角形の数を引いたものです。

したがって、辺を共有しない三角形の数は、220 - 108 = 112個です。

(4) 直角三角形

正 $n$ 角形が円に内接するとき、その中心をOとすると、正 $n$ 角形の頂点は円周を $n$ 等分する点である。正 $n$ 角形のある頂点から別の頂点への線分（つまり対角線）は、円の中心を通るとき、その線分はその円の直径となる。正十二角形の場合、直径となる線分（対角線）は6本存在する。

直径を1辺とする三角形は直角三角形である。

直径を1辺として、もう一つの頂点を残りの10個の頂点から選ぶ。直径6本に対して、それぞれ10個の直角三角形を作ることができる。

従って、直角三角形の数は、$6 \times 10 = 60$個となる。

3. 最終的な答え

(1) 96個

(2) 12個

(3) 112個

(4) 60個