2つの円 $x^2 + y^2 = 5$ (円1) と $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ (円2) について、以下の問題を解く。 (1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す。 (2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。 (3) 2つの円の交点と点 (0, 3) を通る円の中心と半径を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 5$ (円1) と $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ (円2) について、以下の問題を解く。

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。

(3) 2つの円の交点と点 (0, 3) を通る円の中心と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す。

円1の中心は (0, 0) で半径は $\sqrt{5}$。

円2の中心は (1, 2) で半径は 2。

2つの円の中心間の距離 $d$ は、 $d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$。

2つの円が異なる2点で交わる条件は、$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ を満たすこと。ここで、$r_1$と$r_2$はそれぞれの円の半径。

$r_1 = \sqrt{5}$, $r_2 = 2$ なので、$|\sqrt{5} - 2| < \sqrt{5} < \sqrt{5} + 2$。

$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$|2.236 - 2| < 2.236 < 2.236 + 2$。つまり、$0.236 < 2.236 < 4.236$ となり条件を満たす。

よって、2つの円は異なる2点で交わる。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める。

2つの円の交点を通る直線の方程式は、円1 - 円2 = 0 で与えられる。

$x^2 + y^2 - 5 - ((x-1)^2 + (y-2)^2 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 5 - (x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 5 - x^2 + 2x - 1 - y^2 + 4y - 4 + 4 = 0$

$2x + 4y - 6 = 0$

$x + 2y - 3 = 0$

(3) 2つの円の交点と点 (0, 3) を通る円の方程式を求める。

2つの円の交点を通る円の方程式は、$x^2 + y^2 - 5 + k((x-1)^2 + (y-2)^2 - 4) = 0$ と表せる。

この円が点 (0, 3) を通るので、代入して $k$ の値を求める。

$0^2 + 3^2 - 5 + k((0-1)^2 + (3-2)^2 - 4) = 0$

$9 - 5 + k(1 + 1 - 4) = 0$

$4 - 2k = 0$

$k = 2$

よって、求める円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 5 + 2((x-1)^2 + (y-2)^2 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 5 + 2(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 5 + 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2 - 8y + 8 - 8 = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 4x - 8y - 3 = 0$

$x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}y - 1 = 0$

$(x - \frac{2}{3})^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = 1 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{4}{9} + \frac{16}{9} = 1 + \frac{20}{9} = \frac{29}{9}$

円の中心は $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$、半径は $\sqrt{\frac{29}{9}} = \frac{\sqrt{29}}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) 2つの円は異なる2点で交わる。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式：$x + 2y - 3 = 0$

(3) 2つの円の交点と点 (0, 3) を通る円の中心：$(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$、半径：$\frac{\sqrt{29}}{3}$