点(3,1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 2$ に接する直線の方程式と、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点(3,1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 2$ に接する直線の方程式と、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、求める直線の方程式を $y = m(x - 3) + 1$ と置きます。整理すると、

$y = mx - 3m + 1$

$mx - y - 3m + 1 = 0$

次に、この直線と円 $x^2 + y^2 = 2$ が接するための条件を考えます。円の中心(0, 0)から直線までの距離が円の半径$\sqrt{2}$ に等しいことが条件です。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - (0) - 3m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$

$\frac{|-3m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$

両辺を二乗すると、

$\frac{(-3m + 1)^2}{m^2 + 1} = 2$

$(-3m + 1)^2 = 2(m^2 + 1)$

$9m^2 - 6m + 1 = 2m^2 + 2$

$7m^2 - 6m - 1 = 0$

$(7m + 1)(m - 1) = 0$

よって、$m = 1, -\frac{1}{7}$

(i) $m = 1$ のとき、直線の方程式は $y = x - 2$ となります。このとき、$x - y - 2 = 0$ と円 $x^2 + y^2 = 2$ の交点を求めます。

$y = x - 2$ を $x^2 + y^2 = 2$ に代入すると、

$x^2 + (x - 2)^2 = 2$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 2$

$2x^2 - 4x + 2 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$y = 1 - 2 = -1$

よって、接点の座標は(1, -1)です。

(ii) $m = -\frac{1}{7}$ のとき、直線の方程式は $y = -\frac{1}{7}(x - 3) + 1$ となります。

$y = -\frac{1}{7}x + \frac{3}{7} + 1$

$y = -\frac{1}{7}x + \frac{10}{7}$

$x + 7y - 10 = 0$

$x = 10 - 7y$ を $x^2 + y^2 = 2$ に代入すると、

$(10 - 7y)^2 + y^2 = 2$

$100 - 140y + 49y^2 + y^2 = 2$

$50y^2 - 140y + 98 = 0$

$25y^2 - 70y + 49 = 0$

$(5y - 7)^2 = 0$

$y = \frac{7}{5}$

$x = 10 - 7(\frac{7}{5}) = 10 - \frac{49}{5} = \frac{50 - 49}{5} = \frac{1}{5}$

よって、接点の座標は($\frac{1}{5}$, $\frac{7}{5}$)です。

3. 最終的な答え

接線の方程式は、$y = x - 2$と $y = -\frac{1}{7}x + \frac{10}{7}$です。

接点の座標は、(1, -1)と($\frac{1}{5}$, $\frac{7}{5}$)です。