三角形ABCがあり、点Iは内心です。円に内接する三角形ABCにおいて、AB = 5, BC = 8, AC = 7 であるとき、AE, BI:IE を求めよ。ここでEはAIの延長線と円の交点です。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、点Iは内心です。円に内接する三角形ABCにおいて、AB = 5, BC = 8, AC = 7 であるとき、AE, BI:IE を求めよ。ここでEはAIの延長線と円の交点です。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用します。BIは角Bの二等分線なので、$BD:DC = AB:AC = 5:7$となります。$BC = 8$なので、$BD = \frac{5}{12} \times 8 = \frac{10}{3}$となります。

次に、方べきの定理を利用します。

$BI \times IE = AI \times ID$ が成り立つことを目指しますが、直接値を求めるのが難しいので、類似の問題の解き方を参考にします。

三角形ABIと三角形CIEが相似であることを利用します。

角BAI = 角CAI（AIは角Aの二等分線）

角ABI = 角EBC = 角EAC = 角EAI

よって、三角形ABIと三角形CEIは相似です（二角相当）。

したがって、$\frac{BI}{IE} = \frac{AB}{CE}$となります。ここでCEを求めます。

円周角の定理より、角EBC = 角EACであることと、角BEC = 角BACなので三角形EBCと三角形ABCは相似です。

したがって、$\frac{CE}{AB} = \frac{BC}{AC} \implies CE = \frac{AB \times BC}{AC} = \frac{5 \times 8}{7} = \frac{40}{7}$.

$\frac{BI}{IE} = \frac{AB}{CE} = \frac{5}{\frac{40}{7}} = \frac{5 \times 7}{40} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8}$.

また、角の二等分線定理より、$\frac{AB}{AE} = \frac{BD}{DE}$.

$AI$ は角 $A$ の二等分線であるから, $AE = EC$ です。

したがって, $AE = \frac{40}{7}$

3. 最終的な答え

AE = $\frac{40}{7}$

BI:IE = 7:8