4点O(0, 0, 0), A(1, 1, 0), B(2, 0, -1), C(0, -2, 3)について、以下の問いに答える。 (1) 点Oから線分BCに垂線OJを下ろすとき、点Jの座標を求める。 (2) 点Oから△ABCに垂線OHを下ろすとき、点Hの座標を求める。 (3) 四面体OABCの体積Vを求める。

1. 問題の内容

4点O(0, 0, 0), A(1, 1, 0), B(2, 0, -1), C(0, -2, 3)について、以下の問いに答える。

(1) 点Oから線分BCに垂線OJを下ろすとき、点Jの座標を求める。

(2) 点Oから△ABCに垂線OHを下ろすとき、点Hの座標を求める。

(3) 四面体OABCの体積Vを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Jの座標を求める。

点Jは線分BC上にあるので、実数 $t$ を用いて $\vec{OJ} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$ と表せる。

$\vec{OB} = (2, 0, -1)$、$\vec{OC} = (0, -2, 3)$ より、

$\vec{OJ} = (1-t)(2, 0, -1) + t(0, -2, 3) = (2-2t, -2t, -1+4t)$

$\vec{OJ} = (2-2t, -2t, -1+4t)$ は、$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (-2, -2, 4)$ と直交する。

$\vec{OJ} \cdot \vec{BC} = (2-2t)(-2) + (-2t)(-2) + (-1+4t)(4) = 0$

$-4 + 4t + 4t - 4 + 16t = 0$

$24t = 8$

$t = \frac{1}{3}$

$\vec{OJ} = (2 - \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -1 + \frac{4}{3}) = (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

したがって、点Jの座標は$(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$である。

(2) 点Hの座標を求める。

点Hは平面ABC上にあるので、実数 $s, t$ を用いて $\vec{OH} = \vec{OA} + s\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表せる。

$\vec{OA} = (1, 1, 0)$、$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1, -1, -1)$、$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (-1, -3, 3)$ より、

$\vec{OH} = (1, 1, 0) + s(1, -1, -1) + t(-1, -3, 3) = (1+s-t, 1-s-3t, -s+3t)$

$\vec{OH} = (1+s-t, 1-s-3t, -s+3t)$ は、平面ABCに垂直であるので、$\vec{OH}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の両方に直交する。

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = (1+s-t)(1) + (1-s-3t)(-1) + (-s+3t)(-1) = 0$

$1+s-t-1+s+3t+s-3t = 0$

$3s - t = 0$

$\vec{OH} \cdot \vec{AC} = (1+s-t)(-1) + (1-s-3t)(-3) + (-s+3t)(3) = 0$

$-1-s+t-3+3s+9t-3s+9t = 0$

$-s+19t = 4$

$s = 19t - 4$

$3(19t - 4) - t = 0$

$57t - 12 - t = 0$

$56t = 12$

$t = \frac{3}{14}$

$s = 19(\frac{3}{14}) - 4 = \frac{57}{14} - \frac{56}{14} = \frac{1}{14}$

$\vec{OH} = (1+\frac{1}{14}-\frac{3}{14}, 1-\frac{1}{14}-3(\frac{3}{14}), -\frac{1}{14}+3(\frac{3}{14})) = (1-\frac{2}{14}, 1-\frac{10}{14}, \frac{8}{14}) = (\frac{12}{14}, \frac{4}{14}, \frac{8}{14}) = (\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$

したがって、点Hの座標は$(\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$である。

(3) 四面体OABCの体積Vを求める。

$\vec{OA} = (1, 1, 0)$、$\vec{OB} = (2, 0, -1)$、$\vec{OC} = (0, -2, 3)$

$V = \frac{1}{6} | \vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) |$

$\vec{OB} \times \vec{OC} = (0\cdot 3 - (-1)\cdot(-2), (-1)\cdot 0 - 2\cdot 3, 2\cdot (-2) - 0\cdot 0) = (-2, -6, -4)$

$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = (1, 1, 0) \cdot (-2, -6, -4) = 1(-2) + 1(-6) + 0(-4) = -2 - 6 = -8$

$V = \frac{1}{6} |-8| = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 点Jの座標: $(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

(2) 点Hの座標: $(\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$

(3) 四面体OABCの体積V: $\frac{4}{3}$