台形ABCDにおいて、AB = 7, BC = 6, CD = 3, ∠B = ∠C = 90°とする。点PはAを出発し、台形の辺上をB, C, Dの順にDまで動く。点PがAから動いた道のりを $x$ 、△APDの面積を $y$ とする。以下の問いに答える。 (1) 点Pが辺AB上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表す。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表す。 (3) 点Pが辺CD上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表す。 (4) $y$ の値が台形ABCDの面積の半分になるときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AB = 7, BC = 6, CD = 3, ∠B = ∠C = 90°とする。点PはAを出発し、台形の辺上をB, C, Dの順にDまで動く。点PがAから動いた道のりを $x$ 、△APDの面積を $y$ とする。以下の問いに答える。

(1) 点Pが辺AB上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表す。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表す。

(3) 点Pが辺CD上を動くとき、$y$ を $x$ の式で表す。

(4) $y$ の値が台形ABCDの面積の半分になるときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺AB上を動くとき

AP = $x$ である。△APDの面積 $y$ は、底辺をAP、高さをCDと考えると、

$y = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3$

$y = \frac{3}{2}x$

(2) 点Pが辺BC上を動くとき

AB + BP = $x$ なので、BP = $x - 7$。PC = 6 - (x - 7) = 13 - x。

△APDの面積 $y$ は、台形ABCDの面積から△ABPと△PCDを引いたものとして求められる。

台形ABCDの面積は、$\frac{1}{2} (7 + 3) \cdot 6 = 30$。

△ABPの面積は、$\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (x-7) = \frac{7}{2}x - \frac{49}{2}$。

△PCDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (13-x) = \frac{39}{2} - \frac{3}{2}x$。

よって、

$y = 30 - (\frac{7}{2}x - \frac{49}{2}) - (\frac{39}{2} - \frac{3}{2}x)$

$y = 30 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{2} - \frac{39}{2} + \frac{3}{2}x$

$y = 30 - \frac{4}{2}x + \frac{10}{2}$

$y = 35 - 2x$

(3) 点Pが辺CD上を動くとき

AB + BC + CP = $x$ なので、CP = $x - 7 - 6 = x - 13$。PD = 3 - (x - 13) = 16 - x。

△APDの面積 $y$ は、底辺をPD、高さをADと考えると、

台形ABCDの面積は、$\frac{1}{2} (7 + 3) \cdot 6 = 30$。

AD = $\sqrt{(7-3)^2+6^2}$ = $\sqrt{16+36}$ = $\sqrt{52}$.　

△APDの面積 $y$ は、$\frac{1}{2} \times AD \times h$, hはPからADに引いた垂線.

△APDの面積 $y$ は、台形ABCDの面積から△ABPと△BCPを引いたものとして求められる。

△ADPの面積 $y$ は、台形ABCDの面積から四角形ABCPを引いたものと考える。

$y = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (x-13)$

$y= 21$

$y = 30 - \frac{6(x-13)}{2}$

CDの式は、CD = $x-13$　

三角形APDの面積を求める

y = 21

(4) $y$ の値が台形ABCDの面積の半分になるときの $x$ の値を求める。

台形ABCDの面積は30なので、半分は15。

(1)の場合: $\frac{3}{2}x = 15$ より $x = 10$。これはABの範囲(0 <= x <= 7)を超えているので不適。

(2)の場合: $35 - 2x = 15$ より $2x = 20$, $x = 10$。これはBCの範囲(7 <= x <= 13)に含まれるので適する。

(3)の場合: y=21 より$y$ は一定値であり、面積の半分にはなり得ない。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{2}x$

(2) $y = 35 - 2x$

(3) $y = 21$

(4) $x = 10$