直線 $x+y=1$ が円 $x^2+y^2=4$ によって切り取られる線分の長さと、線分の中点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $x+y=1$ が円 $x^2+y^2=4$ によって切り取られる線分の長さと、線分の中点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線と円の交点を求めます。直線 $x+y=1$ より $y = 1 - x$ を得ます。

これを円の式 $x^2+y^2=4$ に代入します。

$x^2 + (1-x)^2 = 4$

$x^2 + 1 - 2x + x^2 = 4$

$2x^2 - 2x - 3 = 0$

この2次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

よって、$x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$ 、$x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$ です。

次に、$y$座標を求めます。

$y = 1 - x$ なので、

$y_1 = 1 - x_1 = 1 - \frac{1 + \sqrt{7}}{2} = \frac{2 - 1 - \sqrt{7}}{2} = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

$y_2 = 1 - x_2 = 1 - \frac{1 - \sqrt{7}}{2} = \frac{2 - 1 + \sqrt{7}}{2} = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$

よって、交点の座標は $(\frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$ と $(\frac{1 - \sqrt{7}}{2}, \frac{1 + \sqrt{7}}{2})$ です。

線分の長さを $l$ とすると、

$l = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(\frac{1 - \sqrt{7}}{2} - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})^2 + (\frac{1 + \sqrt{7}}{2} - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})^2}$

$l = \sqrt{(\frac{-2\sqrt{7}}{2})^2 + (\frac{2\sqrt{7}}{2})^2} = \sqrt{(-\sqrt{7})^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{7 + 7} = \sqrt{14}$

線分の中点の座標を $(x_m, y_m)$ とすると、

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{\frac{1 + \sqrt{7}}{2} + \frac{1 - \sqrt{7}}{2}}{2} = \frac{\frac{2}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{\frac{1 - \sqrt{7}}{2} + \frac{1 + \sqrt{7}}{2}}{2} = \frac{\frac{2}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

よって、線分の中点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ です。

3. 最終的な答え

線分の長さ: $\sqrt{14}$

線分の中点の座標: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$