2点 $A(4,0,5)$, $B(6,-1,7)$ を通る直線上の点$P$を考える。原点を$O$とする。 (1) ベクトル $\overrightarrow{OP}$ の成分を $t$ を用いて表せ。 (2) 点 $P$ が直線 $AB$ 上を動くとき、線分 $OP$ の長さの最小値を求めよ。また、このときの点 $P$ の座標を求めよ。 (3) $\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{AB}$ のとき、点 $P$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点 $A(4,0,5)$, $B(6,-1,7)$ を通る直線上の点$P$を考える。原点を$O$とする。

(1) ベクトル $\overrightarrow{OP}$ の成分を $t$ を用いて表せ。

(2) 点 $P$ が直線 $AB$ 上を動くとき、線分 $OP$ の長さの最小値を求めよ。また、このときの点 $P$ の座標を求めよ。

(3) $\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{AB}$ のとき、点 $P$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+2t \\ -t \\ 5+2t \end{pmatrix}$

(2)

$|\overrightarrow{OP}|^2 = (4+2t)^2 + (-t)^2 + (5+2t)^2 = (16+16t+4t^2) + t^2 + (25+20t+4t^2) = 9t^2 + 36t + 41 = 9(t^2 + 4t) + 41 = 9(t^2+4t+4) - 36 + 41 = 9(t+2)^2 + 5$

$|\overrightarrow{OP}|^2$ は $t = -2$ のとき最小値 $5$ をとる。

したがって、 $|\overrightarrow{OP}|$ の最小値は $\sqrt{5}$

このとき、 $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 4+2(-2) \\ -(-2) \\ 5+2(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって、点Pの座標は $(0, 2, 1)$

(3)

$\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{AB}$ より、$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

$\begin{pmatrix} 4+2t \\ -t \\ 5+2t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 2(4+2t) + (-1)(-t) + 2(5+2t) = 8+4t + t + 10+4t = 9t + 18 = 0$

$9t = -18$

$t = -2$

$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 4+2(-2) \\ -(-2) \\ 5+2(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって、点Pの座標は $(0, 2, 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 4+2t \\ -t \\ 5+2t \end{pmatrix}$

(2) 最小値 $\sqrt{5}$、座標 $(0, 2, 1)$

(3) 座標 $(0, 2, 1)$