(4) 1辺の長さが4cmの立方体にちょうど入る大きさの球の体積を求める問題。 (5) 底面の半径が2cm, 高さが3cmの円錐の体積を求める問題。 (6) 底面の半径が2cmの円錐の展開図において、側面となる扇形の半径が5cmであるとき、この扇形の中心角の大きさを求める問題。

1. 問題の内容

(4) 1辺の長さが4cmの立方体にちょうど入る大きさの球の体積を求める問題。

(5) 底面の半径が2cm, 高さが3cmの円錐の体積を求める問題。

(6) 底面の半径が2cmの円錐の展開図において、側面となる扇形の半径が5cmであるとき、この扇形の中心角の大きさを求める問題。

2. 解き方の手順

(4)

立方体の1辺の長さが4cmなので、球の直径も4cmとなる。したがって、球の半径は2cm。

球の体積の公式は $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ である。

$r=2$を代入すると、

$V = \frac{4}{3} \pi (2^3) = \frac{4}{3} \pi (8) = \frac{32}{3} \pi$

(5)

円錐の体積の公式は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ である。

底面の半径 $r=2$, 高さ $h=3$ を代入すると、

$V = \frac{1}{3} \pi (2^2) (3) = \frac{1}{3} \pi (4)(3) = 4 \pi$

(6)

底面の円周は $2 \pi \times 2 = 4 \pi$。

扇形の弧の長さは底面の円周と等しいので、$4 \pi$。

扇形の円周は $2 \pi \times 5 = 10 \pi$。

中心角を $x$ (度) とすると、扇形の弧の長さは $\frac{x}{360} \times 10 \pi$ と表せる。

したがって、$\frac{x}{360} \times 10 \pi = 4 \pi$

$\frac{10x}{360} = 4$

$10x = 4 \times 360 = 1440$

$x = \frac{1440}{10} = 144$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{32}{3} \pi \text{ cm}^3$

(5) $4 \pi \text{ cm}^3$

(6) $144$ 度