平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを3:1に内分する点をP、辺BCを2:1に内分する点をQとする。このとき、3点D, P, Qが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを3:1に内分する点をP、辺BCを2:1に内分する点をQとする。このとき、3点D, P, Qが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて考える。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$とすると、

点Pは対角線ACを3:1に内分するので、

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}$

ここで、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$なので、

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d})$

$\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD} = \frac{3}{4} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) - \overrightarrow{d} = \frac{3}{4} \overrightarrow{b} - \frac{1}{4} \overrightarrow{d}$

点Qは辺BCを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{DQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{d} - \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \frac{1}{3} \overrightarrow{d}$

ここで、$\overrightarrow{DQ} = k \overrightarrow{DP}$となる実数$k$が存在すれば、3点D, P, Qは一直線上にある。

$\overrightarrow{b} - \frac{1}{3} \overrightarrow{d} = k (\frac{3}{4} \overrightarrow{b} - \frac{1}{4} \overrightarrow{d})$

$\overrightarrow{b} - \frac{1}{3} \overrightarrow{d} = \frac{3k}{4} \overrightarrow{b} - \frac{k}{4} \overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$は一次独立なので、

$1 = \frac{3k}{4}$ かつ $-\frac{1}{3} = -\frac{k}{4}$

$k = \frac{4}{3}$

よって、$\overrightarrow{DQ} = \frac{4}{3} \overrightarrow{DP}$となる実数$k$が存在するので、3点D, P, Qは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点D, P, Qは一直線上にある。