正十角形の3つの頂点を結んで三角形を作ります。 (1) 作れる三角形の総数を求めます。 (2) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めます。 (3) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求めます。

1. 問題の内容

正十角形の3つの頂点を結んで三角形を作ります。

(1) 作れる三角形の総数を求めます。

(2) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めます。

(3) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を選ぶ組み合わせを考えます。正十角形の頂点は10個あるので、10個から3個を選ぶ組み合わせを計算します。

これは組み合わせの公式 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使って計算できます。

$10C3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求めます。正十角形の辺は10個あります。1つの辺を選んだとき、その辺と頂点を共有しない頂点は、7個あります（選んだ辺の両端の頂点と隣の頂点を除きます）。したがって、1つの辺に対して7つの三角形ができます。

$10 \times 7 = 70$

(3) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求めます。これは、(1)で求めた三角形の総数から、正十角形と2辺を共有する三角形の数と1辺だけを共有する三角形の数を引くことで求められます。正十角形と2辺を共有する三角形の数は、正十角形の頂点の数と同じで10個です。したがって、

$120 - 70 - 10 = 40$

3. 最終的な答え

(1) 120個

(2) 70個

(3) 40個