(1) 中心が $(4, 4)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ と外接する円の方程式を求める。 (2) 中心が $(1, -2)$ で、円 $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 6 = 0$ と内接する円の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 中心が $(4, 4)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ と外接する円の方程式を求める。

(2) 中心が $(1, -2)$ で、円 $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 6 = 0$ と内接する円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円 $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ の中心と半径を求める。

平方完成すると、

$(x - 1)^2 + y^2 = 4$

となるので、この円の中心は $(1, 0)$、半径は $2$ である。

求める円の中心は $(4, 4)$ なので、中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

である。外接するので、求める円の半径を $r$ とすると、

$d = r + 2$

$5 = r + 2$

$r = 3$

したがって、求める円の方程式は、

$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 3^2$

$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 9$

(2)

まず、円 $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 6 = 0$ の中心と半径を求める。

平方完成すると、

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 4$

となるので、この円の中心は $(-3, 1)$、半径は $2$ である。

求める円の中心は $(1, -2)$ なので、中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

である。内接するので、求める円の半径を $r$ とすると、

$d = |r - 2|$

$5 = |r - 2|$

$r - 2 = 5$ または $r - 2 = -5$

$r = 7$ または $r = -3$

半径は正なので $r = 7$ である。

したがって、求める円の方程式は、

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 7^2$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 49$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 9$

(2) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 49$